Найдите ёмкость цилиндрического конденсатора, образованного двумя соосными цилиндрами радиуса \(R_1\) и \(R_2\). Длина цилиндров \(l\gg R_1,\,R_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Длина \(l\gg R_2\), краевыми полями у торцов пренебрегаем. Заряд на единицу длины внутренней жилы \(\lambda=Q/l\), на внешней оболочке \(-\lambda\). Теорема Гаусса на цилиндре радиуса \(r\), \(R_1<r<R_2\): \[ E\cdot 2\pi r l=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0}\qquad\Longrightarrow\qquad E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}. \] Снаружи система нейтральна, \(E=0\); внутри металла жилы и оболочки — тоже.
Разность потенциалов \[ V=\int_{R_1}^{R_2}E\,dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}. \] Ёмкость всего куска длины \(l\) \[ C=\frac{Q}{V}=\frac{\lambda l}{V}=\frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln(R_2/R_1)}. \] Это формула коаксиального кабеля: чем ближе оболочка к жиле, тем больше \(C\).
Коаксиальный кабель 50 Ом имеет как раз \(C\sim 100\) пФ/м и \(L\sim 0{,}25\) мкГн/м, произведение даёт \(1/c^2\). Наша формула — половина этой конструкции (вторая половина — индуктивность). Для \(R_2/R_1=2\), \(l=1\) м: \(C=2\pi\varepsilon_0/\ln 2\approx 80\) пФ — типичный метровый кусок телевизионного кабеля.
Сотня метров телевизионного коаксиала — это уже 8–10 нФ. На 1 В в них сидит наноджоуль, на 100 В — 50 мкДж. Ёмкость задают на метр именно потому, что кабель — распределённый конденсатор: чем длиннее линия, тем больше \(C\) и тем дольше фронт импульса. Формула \(2\pi\varepsilon_0/\ln(R_2/R_1)\) — это и есть те самые пикофарады на метр из справочника.