Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины \(a\) и длины \(l\). Расстояние между лентами \(d\). Определите ёмкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса \(R\gg d\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пока ленты лежат плашмя, \[ C_0=\frac{\varepsilon_0 a l}{d}. \] Свернём их в многовитковый рулон внешнего радиуса \(R\gg d\). Локально зазор по-прежнему \(d\), и главный вклад — та же плоская ёмкость \(C_0\): площадь обкладок не изменилась.
Поправка возникает из кривизны. Виток радиуса \(r\) — это цилиндрический конденсатор высоты \(a\): \[ dC=\frac{\varepsilon_0 a\,rd\varphi}{d}\cdot\frac{d/r}{\ln(1+d/r)}. \] Раскладываем \(\ln(1+d/r)\approx d/r-d^2/(2r^2)\), откуда \[ \frac{d/r}{\ln(1+d/r)}\approx 1+\frac{d}{2r}. \] Интегрируя по длине ленты и заменяя характерный радиус на внешний \(R\), получаем относительную добавку \(ld/(2\pi R^2)\): длина \(l\) «намотана» на площадь торца порядка \(\pi R^2\). Итого \[ C=\frac{\varepsilon_0 a l}{d}\Bigl(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\Bigr). \] Если рулон намотан плотно, объём диэлектрика \(ald\) сравним с объёмом рулона \(\pi R^2 a\), и поправка порядка единицы. При \(R\gg\sqrt{ld}\) рулон «почти плоский», поправка мала.
Две ленты фольги 4 см \(\times\) 5 м через кальку 50 мкм дают \(C_0=\varepsilon_0 al/d\approx 35\) нФ — уже радиодеталь, не учебный пикофарад. Рулон радиуса 2 см добавляет поправку \(ld/(2\pi R^2)\approx 0{,}10\), десять процентов. Сворачивают не ради поправки, а ради того, чтобы квадратный метр обкладок влез в пальчиковый корпус.