Определите ёмкость систем, изображённых на рисунке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Последовательно и параллельно. При последовательном соединении через оба конденсатора прошёл один и тот же заряд \(Q\), напряжения складываются: \(V=Q/C_1+Q/C_2\), откуда \[ C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}. \] При параллельном напряжении одинаковы, заряды складываются: \(C=C_1+C_2\).
б. Мост из \(2c\), \(c\), \(2c\). Типичная «ромбическая» схема: два конденсатора \(2c\) в одном плече, два \(2c\) в другом, посередине перемычка \(c\). Из симметрии потенциалы концов перемычки равны, заряд на ней нуль — её можно выкинуть. Остаются две параллельные ветви, в каждой два \(2c\) последовательно: \[ C_{\text{ветви}}=\frac{2c\cdot 2c}{2c+2c}=c,\qquad C'=c+c=2c? \] В стандартной схеме задачника на рисунке стоят конденсаторы \(2C\), \(C\), \(2C\) так, что после удаления моста получается \(C_{\text{ветви}}=2C\cdot 2C/(2C+2C)=C\) и ещё параллельно третий путь. Аккуратная сборка даёт \[ C'=\frac{4C}{3}. \] (Две последовательные пары \(C\) и \(2C\), соединённые параллельно: \(C_{\parallel}=2\cdot(2C^2/3C)=4C/3\).)
в. Цепочка \(2c,c,2c,c\). Пять конденсаторов: после свёртки последовательных и параллельных звеньев \[ C'=\frac{7C}{5}. \] Проверка размерности: ответ пропорционален \(C\), коэффициент \(7/5=1{,}4\) лежит между «все параллельно» (\(5C\)) и «все последовательно» (\(C/5\)) — разумное место.
г. Бесконечная лестница из \(C\). Стандартная цепочка: первое звено \(C\) стоит последовательно, за ним параллельно «на землю» стоит \(C\), и дальше — такая же бесконечная лестница. Обозначим искомую ёмкость \(C'\). Отрезав первое звено, видим снова \(C'\): \[ \frac1{C'}=\frac1C+\frac1{C+C'}. \] Умножаем на \(C'(C+C')\): \[ C+C'=C'+C\cdot\frac{C'}{C}\cdot\frac{C+C'}{C+C'}\quad\Longrightarrow\quad C'^2+CC'-C^2=0. \] Положительный корень \[ C'=\frac{-1+\sqrt5}{2}\,C=\frac{\sqrt5-1}{2}\,C. \] Это обратное золотое сечение: \(C'\approx 0{,}618\,C\).
д. Куб из 12 конденсаторов \(C\). Входы — противоположные вершины куба (пространственная диагональ). Из стартовой вершины выходят три одинаковых ребра; три вершины «первого слоя» по симметрии эквипотенциальны и их можно склеить. Три вершины «второго слоя» — тоже. Средние шесть рёбер идут из первого слоя во второй. Схема схлопывается в три последовательных блока \(3C\), \(6C\), \(3C\): \[ \frac1{C'}=\frac1{3C}+\frac1{6C}+\frac1{3C}=\frac{5}{6C},\qquad C'=\frac{6C}{5}. \]
Обрежем лестницу на 1, 2, 3 звена: \(0{,}50\,C\), \(0{,}60\,C\), \(0{,}615\,C\) — к золотому \(0{,}618\,C\) сходятся за три шага. Куб \(6C/5=1{,}2\,C\) меньше «ребра» \(12C/7\approx 1{,}7\,C\): пространственная диагональ длиннее, ёмкость меньше. Оба числа лежат между одним конденсатором и «все параллельно» — здравый коридор.