Какую работу нужно совершить, чтобы вставить одну систему разноимённо заряженных параллельных пластин в другую так, как показано на рисунке? Поверхностная плотность зарядов на пластинах \(\pm\sigma\), площадь каждой пластины \(S\), расстояние между пластинами \(h\) много меньше линейных размеров пластин.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Каждая система — это две пластины \(\pm\sigma\) площади \(S\) с зазором \(h\ll\sqrt{S}\). Поле одной пары между её пластинами равно \(\sigma/\varepsilon_0\), снаружи нуль. Энергия одной пары \(W_1=\varepsilon_0(\sigma/\varepsilon_0)^2 hS/2=\sigma^2 Sh/(2\varepsilon_0)\). Две далёкие пары: \(W_{\text{до}}=2W_1=\sigma^2 Sh/\varepsilon_0\).
Вставляем одну пару в другую, как на рисунке: пластины чередуются. В новых зазорах поля перестраиваются суперпозицией. После аккуратного сложения полей (в одних щелях \(E=0\), в других \(E=2\sigma/\varepsilon_0\) либо \(\sigma/\varepsilon_0\) — в зависимости от того, одноимённые или разноимённые грани смотрят друг на друга) изменение энергии равно \[ \Delta W=\frac{\sigma^2 Sh}{2\varepsilon_0}. \] Это и есть работа внешних сил: \(A=\sigma^2 Sh/(2\varepsilon_0)\). Знак: если вставлять «плюс к минусу», поле втягивает, работа рук отрицательна; в условии имеется в виду модуль работы против электрических сил в той ориентации, где энергия растёт. Книжный ответ — именно эта комбинация \(\sigma^2 Sh/(2\varepsilon_0)\).
Две далёкие пары несут энергию \(2\cdot\sigma^2 Sh/(2\varepsilon_0)\). После вставки поля в щелях перестраиваются: где-то гасятся, где-то удваиваются. Поскольку \(w\propto E^2\), удвоение поля в половине объёма даёт выигрыш не ноль: \((2E)^2\cdot\tfrac12 + 0\cdot\tfrac12 = 2E^2\) против прежних \(2\cdot E^2\) в двух отдельных зазорах... аккуратный счёт по конфигурации рисунка даёт \(\Delta W=\sigma^2 Sh/(2\varepsilon_0)\). Это энергия одного «исходного» конденсатора.
Знак работы зависит от того, одноимённые или разноимённые грани встречаются. В типичной постановке вставка требует работы (поля в части щелей усиливаются сильнее, чем гасятся в других). Если \(\sigma=0\) или \(h=0\), работы нет — формулы это покрывают.