Батарея из \(n\) последовательно соединённых одинаковых конденсаторов заряжена до разности потенциалов \(V\). Конденсаторы заполнены жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Как изменится разность потенциалов, если из \(k\) конденсаторов вытечет диэлектрик? Конденсаторы отсоединены от источника тока.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ёмкость одного конденсатора с диэлектриком \(\varepsilon C\). Батарея из \(n\) последовательных имеет
\[ C_{\text{бат}}=\frac{\varepsilon C}{n},\qquad q=C_{\text{бат}}V=\frac{\varepsilon C V}{n}. \]После отключения \(q\) заморожен. Из \(k\) конденсаторов диэлектрик вытек: у них ёмкость стала \(C\), у оставшихся \(n-k\) по-прежнему \(\varepsilon C\). Сумма напряжений
\[ V'=q\Bigl(\frac{k}{C}+\frac{n-k}{\varepsilon C}\Bigr) =\frac{\varepsilon V}{n}\Bigl(k+\frac{n-k}{\varepsilon}\Bigr) =V\cdot\frac{k\varepsilon+n-k}{n} =V+\frac{k(\varepsilon-1)V}{n}. \]Напряжение батареи выросло на
\[ \Delta V=\frac{k(\varepsilon-1)V}{n}. \]Интуиция: вытекший диэлектрик перестал экранировать заряд, поле в этих \(k\) зазорах выросло в \(\varepsilon\) раз, их вклад в сумму \(V\) вырос, остальные не изменились.
Последовательная батарея несёт один и тот же заряд на каждом конденсаторе. Когда из \(k\) штук вытекает диэлектрик, их ёмкость падает в \(\varepsilon\) раз, напряжение на них растёт в \(\varepsilon\) раз, и сумма \(V\) батареи увеличивается на \(k(\varepsilon-1)V/n\). Остальные \(n-k\) не заметили.
Предел \(k=n\): вытекло из всех, \(V'=\varepsilon V\) — как в 6.6.7. Предел \(k=0\): ничего не случилось. Последовательное соединение не перекачивает заряд с конденсатора на конденсатор: им некуда течь, кроме как через уже разорванную цепь батареи.