Два одинаковых конденсатора заполнены жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Конденсаторы соединены друг с другом параллельно и заряжены до разности потенциалов \(V\). Как изменится разность потенциалов, если из одного конденсатора вытечет диэлектрик? Как изменится разность потенциалов в батарее из \(n\) одинаковых параллельно соединённых конденсаторов, заряженной до разности потенциалов \(V\), если из одного конденсатора вытечет диэлектрик?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сначала два одинаковых конденсатора. Каждый с диэлектриком имеет ёмкость \(\varepsilon C\), они параллельны и заряжены до \(V\). Суммарный заряд
\[ Q=2\varepsilon C V. \]Батарею отключили. Из одного конденсатора вытек диэлектрик: теперь ёмкости \(\varepsilon C\) и \(C\), они по-прежнему параллельны (провод остался), общая ёмкость \(C(\varepsilon+1)\). Новое напряжение
\[ V'=\frac{Q}{C(\varepsilon+1)}=\frac{2\varepsilon V}{\varepsilon+1}. \]Поскольку \(2\varepsilon/(\varepsilon+1)>1\) при \(\varepsilon>1\), напряжение выросло? \(2\varepsilon/(\varepsilon+1)\) при \(\varepsilon=2\) равно \(4/3>1\), да выросло. Но в исходном ответе \(\Delta V=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)=V-V'\) было бы отрицательным, если \(V'>V\).
Считаем ещё раз. \(2\varepsilon/(\varepsilon+1)\) vs 1: \(2\varepsilon\) vs \(\varepsilon+1\), \(\varepsilon\) vs 1. Да, \(V'>V\). Исходный текст писал \(V'=2\varepsilon V/(\varepsilon+1)\) и \(\Delta V=V-V'=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\) — это неверно арифметически:
\[ V-V'=V-\frac{2\varepsilon V}{\varepsilon+1}=V\cdot\frac{\varepsilon+1-2\varepsilon}{\varepsilon+1} =-\frac{(\varepsilon-1)V}{\varepsilon+1}. \]А \(V'-V=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\). Задачник спрашивает «как изменится» и даёт положительную величину \((\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\). Это приращение напряжения: оно выросло на \((\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\). В старом тексте знак «уменьшения» был опиской в интерпретации, формула \(\Delta V=(\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\) как модуль изменения верна.
Для \(n\) параллельных: было \(n\varepsilon C\), заряд \(Q=n\varepsilon C V\). Стало \((n-1)\varepsilon C+C=C[\varepsilon(n-1)+1]\),
\[ V'=\frac{n\varepsilon V}{\varepsilon(n-1)+1},\qquad \Delta V=V'-V=\frac{(\varepsilon-1)V}{\varepsilon(n-1)+1}. \]Батарея отключена, суммарный заряд двух (или \(n\)) параллельных конденсаторов заморожен. Из одного вытек диэлектрик — его ёмкость упала с \(\varepsilon C\) до \(C\), общая ёмкость уменьшилась, общее напряжение выросло. Для двух штук \(V'=2\varepsilon V/(\varepsilon+1)\), прирост \((\varepsilon-1)V/(\varepsilon+1)\).
При \(n\to\infty\) один конденсатор из большой батареи почти не влияет на напряжение, \(\Delta V\to0\). При \(\varepsilon=1\) вытекать нечему. Заряд сохраняется тождественно: новая ёмкость на новое напряжение даёт старый \(Q\). Для \(n=2\) и \(\varepsilon=2\) напряжение растёт на треть — заметно на вольтметре.