Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями разных диэлектриков толщины \(d_1\) и \(d_2\). Диэлектрическая проницаемость диэлектриков \(\varepsilon_1\) и \(\varepsilon_2\). Площадь обкладок \(S\). Найдите ёмкость конденсатора. Какой заряд будет индуцироваться на границе раздела диэлектриков, если на пластинах конденсатора разместить заряд \(\pm q\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Индукция в обоих слоях одинакова: \(D=q/S\). Поля
\[ E_1=\frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_1}=\frac{q}{\varepsilon_0\varepsilon_1 S},\qquad E_2=\frac{q}{\varepsilon_0\varepsilon_2 S}. \]Разность потенциалов \(V=E_1 d_1+E_2 d_2\), ёмкость \(C=q/V\):
\[ C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2 S}{\varepsilon_2 d_1+\varepsilon_1 d_2}. \]Поляризация \(P=D(1-1/\varepsilon)\). На границе слоёв связанный заряд
\[ q_{\text{пол}}=S(P_1-P_2)=q\Bigl[\Bigl(1-\frac1{\varepsilon_1}\Bigr)-\Bigl(1-\frac1{\varepsilon_2}\Bigr)\Bigr] =q\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}. \]Если \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\), стыкового заряда нет. Если \(\varepsilon_1>\varepsilon_2\), на стыке со стороны первого слоя выступает отрицательный связанный заряд (при \(q>0\)).
Слои друг за другом — один и тот же \(D=q/S\), напряжения складываются. Последовательная формула \(1/C=d_1/(\varepsilon_0\varepsilon_1 S)+d_2/(\varepsilon_0\varepsilon_2 S)\) сразу даёт ответ. Связанный заряд на стыке — разность поляризаций: больше \(\varepsilon\) — больше \(P\), на стыке выступает заряд знака, соответствующего «обрыву» большей поляризации.
При \(d_2=0\) остаётся один слой. При \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\) стыкового заряда нет, \(C=\varepsilon_0\varepsilon S/(d_1+d_2)\). Если один слой — металл (\(\varepsilon\to\infty\)), он просто уменьшает зазор. Все три предела живые.