В плоский конденсатор с площадью обкладок \(S_1\) и расстоянием между ними \(d_1\) помещена диэлектрическая пластинка площади \(S_2\) и толщины \(d_2\). Диэлектрическая проницаемость пластинки \(\varepsilon\). Найдите ёмкость конденсатора.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Выделим два столбика.
Столбик площади \(S_2\) — там, где лежит пластинка. Толщина диэлектрика \(d_2\), над (или под) ним воздушный зазор \(d_1-d_2\). Это два конденсатора последовательно:
\[ \frac{1}{C_\parallel}=\frac{d_1-d_2}{\varepsilon_0 S_2}+\frac{d_2}{\varepsilon_0\varepsilon S_2},\qquad C_\parallel=\frac{\varepsilon_0 S_2}{d_1-d_2+d_2/\varepsilon}. \]Столбик площади \(S_1-S_2\) — чистый воздух толщины \(d_1\):
\[ C_{\text{возд}}=\frac{\varepsilon_0(S_1-S_2)}{d_1}. \]Столбики соединены параллельно (общие обкладки), поэтому
\[ C=\frac{\varepsilon_0 S_2}{d_1-d_2+d_2/\varepsilon}+\frac{\varepsilon_0(S_1-S_2)}{d_1}. \]Если пластинка перекрывает всю площадь (\(S_2=S_1\)), остаётся обычный слоистый конденсатор задачи 6.6.12. Если \(d_2=d_1\) и \(S_2=S_1\), получаем \(C=\varepsilon_0\varepsilon S_1/d_1\).
Под пластинкой — последовательное «диэлектрик + воздух», рядом — чистый воздух. Два канала стоят параллельно, потому что обкладки общие. Краевым полем по периметру пластинки пренебрегаем: зазор много меньше поперечных размеров.
При \(\varepsilon=1\) оба слагаемых вместе дают пустой конденсатор. При \(S_2=S_1\) и \(d_2=d_1\) — полностью заполненный, \(C=\varepsilon_0\varepsilon S_1/d_1\). При \(S_2=0\) пластинки нет. Формула покрывает все вырожденные постановки одной строкой.