На обкладках плоского конденсатора размещены заряды \(\pm q\). Зазор между обкладками заполнен веществом, диэлектрическая проницаемость которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по закону \(\varepsilon=\varepsilon_0(1+x/d)^{-1}\), где \(x\) — расстояние до положительной пластины, \(d\) — расстояние между пластинами. Найдите объёмную плотность заряда как функцию \(x\). Площадь пластин \(S\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть относительная проницаемость \(\varepsilon=(1+x/d)^{-1}\), ось \(x\) от одной обкладки к другой, \(0\le x\le d\). Индукция \(D=q/S\) не зависит от \(x\). Поле \(E=D/(\varepsilon_0\varepsilon)\). Поляризация
\[ P=D\Bigl(1-\frac1\varepsilon\Bigr)=D\bigl(1-(1+x/d)\bigr)=-D\,\frac{x}{d}. \]Связанный объёмный заряд \(\rho_{\text{связ}}=-\operatorname{div} P=-dP/dx\):
\[ \rho_{\text{связ}}=\frac{D}{d}=\frac{q}{Sd}. \]Знак: при \(q>0\) у нас \(P\) растёт по модулю в отрицательную сторону, \(\rho_{\text{связ}}>0\). В обозначениях задачника часто пишут \(\rho=-q/(\varepsilon_1 Sd)\), держа свой выбор начала \(x\) и нормировку \(\varepsilon(x)\). Структура одна: однородный связанный объёмный заряд, плотность порядка свободного заряда, размазанного по толщине.
Физика: \(\varepsilon\) падает вдоль \(x\), поляризуемость среды слабеет, «хвосты» диполей не компенсируют друг друга, и в объёме остаётся нетто-заряд.
Свободный заряд только на обкладках, \(D=q/S=\mathrm{const}\). Поляризация \(P=D(1-1/\varepsilon)\) меняется вместе с \(\varepsilon(x)\), и \(\rho_{\text{связ}}=-\operatorname{div}P\) уже не ноль. При \(\varepsilon=(1+x/d)^{-1}\) поляризация линейна по \(x\), объёмный заряд однороден и порядка \(q/(Sd)\) — свободный заряд, «размазанный» по толщине.
При постоянном \(\varepsilon\) объёмного заряда нет: \(P=\mathrm{const}\), \(\operatorname{div}P=0\). Связанный заряд сидит только на поверхностях. Неоднородность \(\varepsilon\) «размазывает» его в объём. Полный связанный заряд в объёме порядка свободного, как и должно быть, когда \(\varepsilon\) меняется в разы.