Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создаётся разность потенциалов \(V\). По трубе пропускают воздух с пылью.
а. К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки?
б. Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_2\), если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_1\), равна \(F_1\)? Обе пылинки одинаково удалены от нити.
в. Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити?
г*. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса \(R\), больше силы, действующей на пылинку радиуса \(r<R\)? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Поле нити \(E\propto 1/r\), у оси оно больше, у трубы — меньше. Нейтральная пылинка поляризуется, её диполь \(\mathbf{p}\) смотрит вдоль \(\mathbf{E}\), и разность сил на концы диполя тянет её в область сильного поля. Пылинки притягиваются к нити.
б. Поляризуемость диэлектрического шарика \(\alpha=4\pi\varepsilon_0 R^3(\varepsilon-1)/(\varepsilon+2)\). В грубой оценке задачника (когда \(\varepsilon\) не слишком близко к 1) берут \(\alpha\propto(\varepsilon-1)/\varepsilon\). Сила пропорциональна \(\alpha\), поэтому
\[ \frac{F_2}{F_1}=\frac{\alpha_2}{\alpha_1}=\frac{\varepsilon_1(\varepsilon_2-1)}{\varepsilon_2(\varepsilon_1-1)},\qquad F_2=\frac{\varepsilon_1(\varepsilon_2-1)}{\varepsilon_2(\varepsilon_1-1)}F_1. \]в. Поле нити \(E\sim V/r\) (с логарифмом, который на зависимости почти не сказывается). Его перепад на размере пылинки \(\sim E/r\sim V/r^2\). Момент \(p=\alpha E\propto E\), сила
\[ F\propto E\cdot\frac{E}{r}\propto\frac{V^2}{r^3}. \]Сила растёт как квадрат напряжения и быстро падает при удалении от нити.
г. \(\alpha\propto R^3\), поле одно и то же, поэтому \(F\propto R^3\). Сила на пылинку радиуса \(R\) больше, чем на пылинку радиуса \(r\), в \((R/r)^3\) раз. Крупная пыль ловится легче.
При \(\varepsilon\to1\) пылинка исчезает, сила нуль. При \(\varepsilon\to\infty\) (проводящая капля) сила максимальна. Зависимость \(V^2\) — общая черта пондеромоторных сил: поле поляризует (\(\propto V\)) и тянет поляризованное (\(\propto V\)). Тонкая проволока под высоким напряжением — именно поэтому фильтр работает.