Вдали от точечного заряда \(Q\) расположена диэлектрическая пластинка площади \(S\), причём линейные размеры пластинки много меньше расстояния \(R\) между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд. Толщина пластины \(\delta\), диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon\). Найдите силу, с которой пластинка притягивается к заряду.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле заряда на расстоянии \(R\) равно \(E_0=Q/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\) и направлено по нормали к пластинке. Пластинка тонкая, \(R\) велико, поле по её площади почти однородно. Внутри \(E=E_0/\varepsilon\) (как у пластины поперёк поля, задача 6.6.5 при \(\alpha=0\)). Поляризация
\[ P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E=\varepsilon_0\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}E_0. \]Дипольный момент всей пластинки
\[ p=PS\delta=\varepsilon_0\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}E_0 S\delta. \]Поле заряда неоднородно: на малом смещении \(\Delta R\) оно меняется на \(\Delta E_0=\dfrac{2E_0}{R}\,\Delta R=\dfrac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\,\Delta R\) (так убывает \(1/R^2\)). Сила на диполь, ориентированный вдоль поля, — разность сил на его концы, \(F=p\,\Delta E_0/\Delta R\):
\[ F=p\cdot\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} =\varepsilon_0\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\cdot\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\cdot S\delta\cdot\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 R^3} =\frac{(\varepsilon-1)S\delta Q^2}{8\pi^2\varepsilon_0\varepsilon R^5}. \]Знак: пластинка втягивается в область сильного поля, то есть притягивается к заряду.
Далёкая тонкая пластинка в поле точечного заряда поляризуется почти однородно. Внутри \(E=E_0/\varepsilon\), \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E_0/\varepsilon\), момент \(p=PS\delta\). Сила на диполь \(p\cdot2E_0/R\propto1/R^5\). Знак — притяжение: пластинка лезет в сильное поле.
При \(\varepsilon=1\) силы нет. При \(\varepsilon\to\infty\) (металл) сила конечна и совпадает с 6.5.29. Зависимость \(1/R^5\) стандартна: \(E\sim1/R^2\), градиент \(\sim1/R^3\), \(p\sim E\). Объём пластинки \(S\delta\) входит линейно — как и должно быть у малого образца.