В однородное электрическое поле напряжённости \(E\) внесли тонкую пластинку с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Толщина пластинки \(d\), её площадь \(S\). Найдите момент сил, действующий на пластинку, если нормаль к пластинке и направление поля составляют друг с другом угол \(\alpha\). Какую работу нужно совершить, чтобы расположить пластинку перпендикулярно полю?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Из 6.6.5 внутри пластинки \(E_\perp=E\cos\alpha/\varepsilon\), \(E_\parallel=E\sin\alpha\). Поляризация перпендикулярна пластинке (для тонкой пластины касательная \(P\) мала по сравнению с нормальной, если считать отклик через \(D_\perp\)):
\[ P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E_\perp=\varepsilon_0\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}E\cos\alpha. \]Момент \(p=PSd\). Энергия в постоянном внешнем поле (поле создают удалённые обкладки, \(E=\operatorname{const}\))
\[ W=-\frac12 p E\cos\alpha=-\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)Sd E^2\cos^2\alpha}{2\varepsilon}. \]Энергия \(W\propto-\cos^2\alpha\) минимальна при \(\alpha=0\): нормаль вдоль поля, то есть пластинка стоит поперёк поля — туда её и разворачивает момент сил, стремясь уменьшить \(\alpha\).
Однако интуиция «диэлектрик вытягивается вдоль поля» относится к стержню (касательная геометрия, \(E_\parallel\) не ослабляется). У тонкой пластины выгоднее лечь поперёк: тогда поляризация максимальна. Момент
При малом повороте от \(\alpha\) к \(\alpha+\Delta\alpha\) величина \(\cos^2\alpha=\tfrac12(1+\cos2\alpha)\) получает приращение \(-\sin2\alpha\,\Delta\alpha\), так что \(\Delta W=\dfrac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)SdE^2}{2\varepsilon}\sin2\alpha\,\Delta\alpha\), и момент
\[ M=-\frac{\Delta W}{\Delta\alpha} =-\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)Sd E^2\sin 2\alpha}{2\varepsilon}. \]Модуль, который пишут в ответе:
\[ M=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)Sd E^2\sin 2\alpha}{2\varepsilon}. \]Работа, чтобы поставить пластинку перпендикулярно полю (из угла \(\alpha\) в \(\alpha=0\)):
\[ A=W(\alpha)-W(0)=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)Sd E^2\sin^2\alpha}{2\varepsilon}. \]Если внешние силы поворачивают пластинку, они совершают именно эту работу против электрического момента. Знак: система сама норовит уменьшить \(\alpha\), так что, чтобы увеличить угол, работу совершаем мы; чтобы поставить перпендикулярно, система отдаёт энергию, \(A\) в ответе — величина изменения энергии.
Энергия тонкой пластинки во внешнем поле \(W\propto-\cos^2\alpha\). Минимум при \(\alpha=0\): пластинка стремится встать поперёк поля. Момент \(M=-\Delta W/\Delta\alpha\propto\sin2\alpha\), нуль в положениях \(\alpha=0\) и \(\alpha=90^\circ\). Устойчиво только первое.
Работа перевода из угла \(\alpha\) в положение «поперёк» — разность энергий, \(\propto\sin^2\alpha\). При \(\varepsilon=1\) момента нет. При \(\varepsilon\to\infty\) момент конечен: металл тоже хочет встать поперёк (вытеснить поле из как можно большего «толстого» сечения). Размерность \(M\) — ньютон-метры, \(A\) — джоули.