Проводящий шар радиуса \(r\) с зарядом \(Q\) окружён слоем диэлектрика, внешний радиус которого \(R\). Диэлектрическая проницаемость слоя \(\varepsilon\). Найдите поверхностную плотность заряда на внутренней и внешней поверхностях диэлектрического слоя. Нарисуйте линии напряжённости электрического поля. Нарисуйте график зависимости напряжённости и потенциала поля от расстояния до центра шара.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внутри металла \(E=0\). В диэлектрическом слое \(r<x<R\)
\[ D=\frac{Q}{4\pi x^2},\qquad E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon x^2}. \]Снаружи, \(x>R\), диэлектрика нет, \(\varepsilon=1\),
\[ E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}. \]Поляризация в слое \(P=D(1-1/\varepsilon)\). Связанный заряд на внутренней поверхности (нормаль из диэлектрика к центру, знак: для \(Q>0\) связанные минусы притягиваются к шару)
\[ \sigma_{\text{внутр}}=-P(r)=-\frac{(\varepsilon-1)Q}{4\pi\varepsilon r^2}. \]На внешней поверхности нормаль наружу:
\[ \sigma_{\text{внеш}}=+P(R)=\frac{(\varepsilon-1)Q}{4\pi\varepsilon R^2}. \]Задачник обычно пишет модули \((\varepsilon-1)Q/(4\pi\varepsilon r^2)\) и \((\varepsilon-1)Q/(4\pi\varepsilon R^2)\). Полный связанный заряд внутренней сферы \(-(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\), внешней \(+(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\): сумма нуль, как и должно быть у нейтральной оболочки.
Линии напряжённости — радиальные лучи от центра. В металле их нет. На внутренней поверхности слоя часть линий обрывается на связанных минусах: в слой проходит лишь \(1/\varepsilon\) их числа. На внешней поверхности связанные плюсы рождают недостающие линии, и наружу выходят снова все \(Q/\varepsilon_0\) линий. Картина всюду сферически симметрична.
Потенциал: снаружи \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0 x)\); в слое \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon x)+\operatorname{const}\), константа сшивается на \(x=R\); в металле \(\varphi=\operatorname{const}=\varphi(r)\). График \(\varphi(x)\): снаружи гипербола \(1/x\), в слое поле в \(\varepsilon\) раз слабее, поэтому к центру потенциал нарастает полого, а в металле выходит на горизонтальную полку \(\varphi(r)\).
Полный связанный заряд внутренней сферы \(-(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\), внешней \(+(\varepsilon-1)Q/\varepsilon\). Сумма нуль: оболочка в целом нейтральна. При \(\varepsilon\to\infty\) внутренняя полностью экранирует шар, снаружи остаётся обычный проводник радиуса \(R\) с зарядом \(Q\). График \(E(x)\): нуль в металле, спад \(1/x^2\) в слое, скачок вверх на \(R\), снова спад.