Металлический шар радиуса \(r\) с зарядом \(Q\) окружён слоем жидкого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Внешний радиус слоя диэлектрика \(R\). Найдите давление диэлектрика на шар.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На каждый кусочек жидкого диэлектрика в неоднородном поле действует сила, тянущая его туда, где \(E^2\) больше; в равновесии её уравновешивает перепад механического давления, так что давление жидкости нарастает от внешней границы слоя к шару. Добавка давления между двумя точками жидкости пропорциональна разности \(E^2\) в них: суммирование малых перепадов по слою даёт \(\Delta P=\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon(\varepsilon-1)\bigl(E_1^2-E_2^2\bigr)\). Поле в жидкости ослаблено в \(\varepsilon\) раз: у шара \(E_r=Q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2)\), у внешней границы \(E_R=Q/(4\pi\varepsilon_0\varepsilon R^2)\). Подстановка даёт ответ задачника:
\[ P=\frac{(\varepsilon-1)Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon}\Bigl(\frac1{r^4}-\frac1{R^4}\Bigr). \]Давление направлено к шару: жидкость прижимается к металлу. Если слой бесконечный (\(R\to\infty\)), остаётся только \(1/r^4\).
Жидкий диэлектрик втягивается в сильное поле. У поверхности шара поле больше, чем на внешней границе слоя, и разность втягивающих давлений \(\propto(\varepsilon-1)(E_r^2-E_R^2)\) прижимает жидкость к шару. Суммирование перепадов давления по слою от \(R\) до \(r\) даёт ответ.
При \(\varepsilon=1\) или \(R=r\) слоя нет, давление нуль. Для \(Q=1\) мкКл, \(r=1\) см, \(\varepsilon=2\) давление порядка килопаскаля — заметное, но не рвущее. Знак скобки \(1/r^4-1/R^4\) положителен: жидкость прижимается к шару, а не отрывается.