С какой силой втягивается диэлектрическая пластина в плоский конденсатор с зарядом \(Q\), когда она входит в пространство между обкладками на длину \(x\)? Диэлектрическая проницаемость пластины \(\varepsilon\), а толщина её немного меньше расстояния между обкладками \(d\). Размеры обкладок, как и пластины, \(a\times b\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пластина толщины \(\approx d\) вошла на длину \(x\), ширина пластин \(b\), длина \(a\). Заполненная часть — конденсатор ёмкости \(\varepsilon_0\varepsilon b x/d\), пустая — \(\varepsilon_0 b(a-x)/d\). Они параллельны:
\[ C(x)=\frac{\varepsilon_0 b}{d}\bigl[x\varepsilon+(a-x)\bigr]=\frac{\varepsilon_0 b}{d}\bigl[a+x(\varepsilon-1)\bigr]. \]Заряд \(Q\) постоянен, энергия
\[ W=\frac{Q^2}{2C(x)}. \]Вдвинем пластину ещё на малое \(\Delta x\): ёмкость вырастет на \(\Delta C=\dfrac{\varepsilon_0 b(\varepsilon-1)}{d}\,\Delta x\), а энергия уменьшится на \(\Delta W=\dfrac{Q^2}{2C^2}\,\Delta C\). Сила, действующая на пластину в сторону увеличения \(x\), — убыль энергии на единицу смещения:
\[ F=\frac{\Delta W}{\Delta x}=\frac{Q^2}{2C^2}\cdot\frac{\Delta C}{\Delta x} =\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 b}\cdot\frac{\varepsilon-1}{\bigl[a+x(\varepsilon-1)\bigr]^2}. \]Сила втягивает (\(\varepsilon>1\)). Она зависит от \(x\): чем глубже пластина, тем больше ёмкость и тем слабее сила (при фиксированном \(Q\) напряжение падает).
Заряд фиксирован, энергия \(W=Q^2/(2C)\). Пластина вдвигается — ёмкость растёт, энергия падает, система сама втягивает пластину. Сила \(F=-\Delta W/\Delta x=(Q^2/2C^2)\,\Delta C/\Delta x\). Она зависит от \(x\): чем глубже пластина, тем больше \(C\) и тем слабее сила (напряжение при фиксированном \(Q\) падает).
На батарее было бы наоборот: \(F=\tfrac12 V^2\,\Delta C/\Delta x\) не зависит от \(x\). Два режима — два разных ответа, и путать их нельзя. При \(\varepsilon=1\) сила нуль в обоих случаях: вдвигать воздух вместо воздуха бессмысленно.