В широкий сосуд с жидкостью ставится вертикально плоский конденсатор так, что нижняя часть пластин конденсатора погружается в жидкость. Конденсатор подключён к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов \(V\). Расстояние между пластинами конденсатора \(d\), плотность жидкости \(\rho\), диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon\). Жидкость несжимаема. На какую высоту поднимется жидкость? Поверхностным натяжением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ёмкость на единицу ширины пластин, когда жидкость поднялась на \(h\): заполненная часть \(\varepsilon_0\varepsilon h/d\), пустая \(\varepsilon_0(L-h)/d\). При подъёме ещё на малое \(\Delta h\) ёмкость прирастает на
\[ \Delta C'=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)}{d}\,\Delta h. \]При постоянном напряжении \(V\) сила на единицу ширины (втягивающая вверх, как в задаче 6.6.20)
\[ f=\frac12 V^2\,\frac{\Delta C'}{\Delta h}=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2}{2d}. \]Вес столба жидкости высоты \(h\), ширины 1, толщины \(d\): \(\rho g\cdot h\cdot d\). Равновесие \(f=\rho g h d\):
\[ h=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2}{2\rho g d^2}. \]Это электрический капилляр: роль \(2\sigma\cos\theta/(\rho g r)\) играет комбинация \(\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2/(2\rho g d^2)\).
Вертикальный конденсатор на батарее втягивает жидкость точно так же, как пластину в 6.6.20. Сила на единицу ширины \(\tfrac12 V^2\,\Delta C'/\Delta h\) уравновешивается весом столба \(\rho g h d\). Высота \(h=\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2/(2\rho g d^2)\) — электрический капилляр.
При \(V=0\) подъёма нет. При \(d\to0\) поле \(V/d\) растёт, высота тоже. Для воды, 300 В и миллиметрового зазора выходит несколько миллиметров — скромно, но измеримо линейкой. Размерность длины собирается: \(\varepsilon_0 V^2/(\rho g d^2)\) есть метры.