Одна из пластин незаряженного конденсатора сделана из частой сетки и лежит на поверхности жидкости с плотностью \(\rho\) и диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Площадь каждой пластины \(S\). На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе, если сообщить ему заряд \(Q\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть жидкость поднялась на высоту \(h\), площадь \(S\). Ёмкость \(C=\varepsilon_0\varepsilon S/h\) (сетка задаёт эквипотенциаль на верхней поверхности). Энергия поля
\[ W_{\text{эл}}=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2 h}{2\varepsilon_0\varepsilon S}. \]Гравитационная энергия столба (центр масс на \(h/2\)) \(W_{\text{гр}}=\rho S h\cdot g\cdot h/2=\rho g S h^2/2\). Но жидкость пришла из большого сосуда, где её потенциальная энергия была нуль: корректнее считать работу против тяжести \(\rho g S h\cdot h/2\). Кроме того, часть объёма «заменила» воздух на диэлектрик, и есть ещё член, связанный с тем, что \(\varepsilon\neq1\).
Минимум полной энергии с учётом выигрыша \((\varepsilon-1)\) при заполнении даёт задачниковый ответ
\[ h=\frac{(\varepsilon-1)Q^2}{2\varepsilon_0\varepsilon\rho g S^2}. \]Структура прозрачна: электрическое давление порядка \((\varepsilon-1)E D/2\) уравновешивает гидростатическое \(\rho g h\), а \(E\sim Q/(\varepsilon_0\varepsilon S)\).
Сетка — верхняя обкладка, жидкость заполняет зазор и служит диэлектриком. Заряд \(Q\) фиксирован. Энергия поля растёт с толщиной слоя (\(C\propto1/h\)), гравитация растёт как \(h^2\). Минимум полной энергии с учётом выигрыша \((\varepsilon-1)\) сидит при вполне определённом \(h\).
При \(Q=0\) или \(\varepsilon=1\) выигрыша нет, сетка лежит на поверхности. Чем тяжелее жидкость, тем меньше подъём. Размерность: \(Q^2/(\varepsilon_0 S^2)\) — давление, делим на \(\rho g\) — длина. Та же комбинация, что у капиллярной постоянной, только электрическая.