Конденсатор ёмкости \(C\) подключён к батарее. Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\)? Батарея поддерживает на конденсаторе постоянную разность потенциалов \(V\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До заполнения \(W_1=\tfrac12 CV^2\), заряд \(Q_1=CV\). После: ёмкость \(\varepsilon C\), \(W_2=\tfrac12\varepsilon CV^2\), заряд \(Q_2=\varepsilon CV\).
Батарея прогнала заряд \(\Delta Q=(\varepsilon-1)CV\) при напряжении \(V\), её работа
\[ A_{\text{бат}}=V\Delta Q=(\varepsilon-1)CV^2. \]Прирост энергии поля \(\Delta W=W_2-W_1=\tfrac12(\varepsilon-1)CV^2\). По первому началу разность уходит в тепло:
\[ W=A_{\text{бат}}-\Delta W=\frac12(\varepsilon-1)CV^2. \]Тепло такое же по структуре, как убыль при \(Q=\operatorname{const}\), но вдвое больше в сравнимых переменных и другого происхождения: теперь поле усилилось (батарея докачала заряд), и греет «трение» втягиваемых диполей на фоне растущей энергии.
Напряжение закреплено. Ёмкость растёт, энергия поля растёт на \(\tfrac12(\varepsilon-1)CV^2\). Батарея при этом прогоняет заряд \((\varepsilon-1)CV\) и тратит \((\varepsilon-1)CV^2\). Разность — тепло \(\tfrac12(\varepsilon-1)CV^2\). Поле усилилось (докачали заряд), а греет «трение» втягиваемых диполей.
Баланс сходится: \(A_{\text{бат}}=\Delta W+Q_{\text{тепл}}\). При \(\varepsilon=1\) все три нули. Если заполнять обратимо, без вязкости, тепло будет другим — но «заполнили» в задачнике значит необратимое втягивание, и весь избыток работы идёт в тепло.