Конденсатор ёмкости \(C\) подсоединён к источнику напряжения и заполнен веществом с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_1\). При поглощении этим веществом количества теплоты \(W\) оно переходит в новое состояние с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_2>\varepsilon_1\). Какую разность потенциалов нужно создать на обкладках конденсатора, чтобы вещество из первого состояния перешло во второе? Оцените, при какой напряжённости электрического поля в плоском конденсаторе произойдёт фазовый переход лёд — вода. Диэлектрическая проницаемость льда 3,1, воды 88.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Конденсатор на источнике, напряжение \(V\) задано. Свободная энергия (точнее, та её часть, что зависит от поля)
\[ F=-\frac12 C\varepsilon V^2 \]в расчёте на «геометрическую» ёмкость \(C\) пустого конденсатора. Разность свободных энергий двух фаз
\[ \Delta F=-\frac12 C(\varepsilon_2-\varepsilon_1)V^2. \]Переход \(1\to2\) (\(\varepsilon_2>\varepsilon_1\)) выгоден, когда этот выигрыш сравняется со скрытой теплотой \(W\):
\[ \frac12 C(\varepsilon_2-\varepsilon_1)V^2=W\qquad\Longrightarrow\qquad V=\sqrt{\frac{2W}{(\varepsilon_2-\varepsilon_1)C}}. \]Для льда и воды \(\varepsilon_1=3{,}1\), \(\varepsilon_2=88\), \(\lambda\sim3\cdot10^5\) Дж/кг. Берём слой толщины \(d\), тогда \(W/S=\lambda\rho d\), \(C/S=\varepsilon_0/d\), и поле
\[ E=\frac{V}{d}\sim\sqrt{\frac{2\lambda\rho}{\varepsilon_0(\varepsilon_2-\varepsilon_1)}}\sim10^9\ \frac{\text{В}}{\text{м}}. \]Это чудовищное поле, больше пробойного. Электрическим полем лёд в воду так не переводят — выигрыш слишком мал по сравнению с теплотой плавления.
Поле любит фазу с большей \(\varepsilon\): при фиксированном \(V\) свободная энергия \(-\tfrac12 C\varepsilon V^2\) ниже у той фазы, у которой проницаемость больше. Чтобы сдвинуть переход, этот выигрыш должен покрыть скрытую теплоту \(W\). Отсюда \(V=\sqrt{2W/[(\varepsilon_2-\varepsilon_1)C]}\).
Для льда и воды оценка даёт \(E\sim10^9\) В/м — далёкий пробой. В природе лёд тает от тепла, не от грозы. При \(\varepsilon_2=\varepsilon_1\) никакое поле переход не сдвинет. При \(W=0\) хватает сколь угодно малого \(V\). Оба предела здравые.