Конденсатор (см. задачу 6.6.26), заряженный до разности потенциалов \(V\), разрядили, замкнув ключ до нуля за время, в течение которого состояние поляризации диэлектрика не изменилось, а затем ключ разомкнули.
а. Какая разность потенциалов установится на конденсаторе, если диэлектрическая проницаемость среды \(\varepsilon\)?
б. Найдите, на сколько изменится температура диэлектрика (\(\varepsilon=81\)) при этом процессе. Удельная теплоёмкость диэлектрика \(c=4{,}18\) Дж/(кг·К), его плотность \(\rho=1\cdot10^3\) кг/м\(^3\), расстояние между пластинами конденсатора \(d=1\) мм, разность потенциалов \(V=300\) В. Считать, что диэлектрик не обменивается теплом с окружающей средой.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Исходно \(D=\varepsilon_0\varepsilon V/d\), \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)V/d\). Быстрый разряд до нуля: обкладки замкнуты, \(V=0\), свободный заряд снят, \(D=0\). Поляризация ещё равна старой \(P\). Разомкнули ключ: свободный заряд так и остался нулём. Когда поляризация релаксирует к равновесию с новым полем, на изолированных обкладках появляется
\[ V'=\frac{P}{\varepsilon_0\varepsilon}\cdot d=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}V. \]Эквивалентно: связанные заряды \(\pm PS\) наводят равные свободные «изображения», но свободных нет — поэтому возникает поле, которое само себя согласует с оставшейся \(P\).
б. Энергия, которая в итоге диссипирует, порядка исходной энергии поля на единицу объёма \(\varepsilon_0\varepsilon E^2/2\). \(E=V/d=300/10^{-3}=3\cdot10^5\) В/м, \(\varepsilon=81\), \(c=4{,}18\cdot10^3\) Дж/(кг·К), \(\rho=10^3\) кг/м\(^3\):
\[ \Delta T\sim\frac{\varepsilon_0\varepsilon E^2}{2c\rho} =\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot81\cdot9\cdot10^{10}}{2\cdot4{,}18\cdot10^3} \sim 8\cdot10^{-6}\ \text{К}\sim10^{-5}\ \text{К}. \]Нагрев ничтожный: электрическая энергия кубического сантиметра воды в поле 3 кВ/см — доли микроджоуля.