Найдите дипольный момент проводящего шарика радиуса \(r\), помещённого в однородное электрическое поле напряжённости \(E\). Воспользуйтесь решением задачи 6.2.14.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
По 6.2.14б плотность наведённого заряда
\[ \sigma=3\varepsilon_0 E\cos\alpha, \]где \(\alpha\) — угол от направления внешнего поля. Дипольный момент
\[ p=\int\sigma\cdot(r\cos\alpha)\,dS. \]Элемент сферы \(dS=2\pi r\sin\alpha\cdot r\,d\alpha\), интегрируем \(\alpha\) от 0 до \(\pi\):
\[ p=3\varepsilon_0 E r\cdot 2\pi r^2\int_0^\pi\cos^2\alpha\sin\alpha\,d\alpha =6\pi\varepsilon_0 E r^3\cdot\frac{2}{3}=4\pi\varepsilon_0 r^3 E. \]Тот же ответ даёт разложение потенциала снаружи: \(\varphi=-Er\cos\alpha+p\cos\alpha/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\), и условие \(\varphi=\operatorname{const}\) на сфере фиксирует \(p=4\pi\varepsilon_0 r^3 E\).
Поляризуемость шарика \(\alpha=p/E=4\pi\varepsilon_0 r^3\). Именно её мы подставляли в задачах 6.6.28 и 6.6.30.
Наведённая плотность \(\sigma=3\varepsilon_0 E\cos\alpha\) — результат 6.2.14. Интеграл \(\sigma\cdot r\cos\alpha\) по сфере даёт \(p=4\pi\varepsilon_0 r^3 E\). Снаружи шар неотличим от точечного диполя в центре. Внутри поле диполя как раз гасит внешнее: \(p/(4\pi\varepsilon_0 r^3)=E\), сумма нуль.
Коэффициент 3 в \(\sigma\) не случаен: единица — вклад самого диполя, две — однородное «размазывание», нужное, чтобы внутри было строго нуль, а не только в центре. При \(E=0\) момента нет. Поляризуемость \(\alpha=4\pi\varepsilon_0 r^3\) пойдёт в следующую задачу как готовый кирпич.