Среда составлена из проводящих шариков радиуса \(r\). Шарики распределены равномерно по всей среде. Их число в единице объёма \(n\). Найдите диэлектрическую проницаемость такой среды.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Концентрация шариков \(n\), радиус каждого \(r\). В среднем поле \(E\) (оно же внешнее, раз шарики редкие) момент одного шарика по 6.6.29
\[ p=4\pi\varepsilon_0 r^3 E. \]Поляризация среды
\[ P=np=n\cdot4\pi\varepsilon_0 r^3 E. \]Диэлектрическая проницаемость
\[ \varepsilon=1+\frac{P}{\varepsilon_0 E}=1+4\pi n r^3. \]Это формула Клаузиуса–Моссотти в пределе малой плотности (без лоренцева поправочного поля \(E+P/(3\varepsilon_0)\)). Она же получилась в 6.6.28 «наоборот»: там из \(\varepsilon\) находили \(r\), здесь из \(r\) и \(n\) находим \(\varepsilon\).
Объёмная доля шариков \(f=n\cdot\tfrac43\pi r^3\), поэтому \(\varepsilon=1+3f\). Пока \(f\ll1\), поправка мала. Когда шарики начинают занимать заметную долю объёма, нужно уже поле Лоренца, и \(\varepsilon=(1+2f)/(1-f)\).
Редкий «газ» проводящих шариков. Каждый несёт \(p=4\pi\varepsilon_0 r^3 E\), поляризация \(P=np\), \(\varepsilon=1+4\pi nr^3\). Это Клаузиус–Моссотти без лоренцева поля: шарики не чувствуют соседей, пока \(nr^3\ll1\). Объёмная доля \(f=\tfrac43\pi nr^3\), поэтому \(\varepsilon=1+3f\).
При плотной упаковке (\(f\sim0{,}5\)) наивная формула врёт по коэффициенту, но порядок (\(\varepsilon\sim2\div4\)) ещё жив. Формула Максвелла–Гарнетта \((1+2f)/(1-f)\) аккуратнее. Для металлической пыли в масле оценка \(1+4\pi nr^3\) вполне рабочая, пока пыль не слипнется в цепочки.