Давление насыщенного пара воды при \(18^\circ\)C равно \(2\cdot10^3\) Па, а его диэлектрическая проницаемость 1,0078. Из этих данных найдите средний дипольный момент молекулы воды в электрическом поле напряжённости \(10^3\) В/м. В справочниках для дипольного момента воды приводится значение \(0{,}61\cdot10^{-29}\) Кл·м. Как объяснить расхождение результатов?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Концентрация молекул насыщенного пара при \(18^\circ\mathrm{C}\):
\[ n=\frac{P}{kT}=\frac{2\cdot10^3}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot291}\approx5{,}0\cdot10^{23}\ \text{м}^{-3}. \]Средний момент в поле \(E=10^3\) В/м
\[ p_{\text{ср}}=\frac{(\varepsilon-1)\varepsilon_0 E}{n} =\frac{0{,}0078\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot10^3}{5{,}0\cdot10^{23}} \approx1{,}4\cdot10^{-34}\ \text{Кл·м}. \]Порядок \(10^{-34}\) Кл·м. Справочник даёт собственный момент молекулы воды \(p_0=0{,}61\cdot10^{-29}\) Кл·м — в \(\sim4\cdot10^4\) раз больше.
Расхождение не ошибка. Справочник сообщает «длину стрелки» одной молекулы. Мы измерили среднюю проекцию этих стрелок на поле. В теории Ланжевена
\[ p_{\text{ср}}=\frac{p_0^2 E}{3kT}, \]потому что параметр ориентации \(p_0 E/kT\sim0{,}61\cdot10^{-29}\cdot10^3/(1{,}38\cdot10^{-23}\cdot291)\sim1{,}5\cdot10^{-4}\ll1\): молекулы почти не выстроены, и средний момент в \(kT/(p_0 E)\) раз меньше собственного. Численно \(p_0^2 E/(3kT)\sim10^{-34}\) Кл·м — ровно то, что мы получили из \(\varepsilon\).
Справочник даёт собственный момент молекулы воды \(p_0\) — «длину стрелки». Мы измерили среднюю проекцию этих стрелок на слабое поле. Параметр ориентации \(p_0 E/kT\sim5\cdot10^{-5}\): молекулы почти не выстроены, средний момент в десятки тысяч раз меньше собственного. Расхождение — не ошибка, а разница между \(p_0\) и \(p_{\text{ср}}=p_0^2 E/(3kT)\).
Почему тогда \(\varepsilon-1\) пара воды заметно больше, чем у гелия? Потому что сам \(p_0\) огромный (молекула полярная), и даже крошечная ориентация даёт вклад. Деформационная поляризуемость воды добавляет ещё немного — отсюда лишний множитель два в сравнении с чистым Ланжевеном.