Две заряженные параллельные плоскости с поверхностной плотностью заряда \(\pm\sigma\) разнесены на расстояние \(d\) друг от друга и разделены прокладкой толщины \(h\), диэлектрическая проницаемость которой \(\varepsilon\). Найдите поверхностную плотность индуцированного поляризационного заряда на прокладке, напряжённость электрического поля в пространстве между пластинами и разность потенциалов между ними.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Две плоскости несут \(\pm\sigma\). По теореме Гаусса \(D=\sigma\) везде между ними (свободных зарядов внутри нет). Внутри прокладки толщины \(h\)
\[ E_{\text{д}}=\frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0\varepsilon}, \]в воздушном зазоре толщины \(d-h\)
\[ E_{\text{возд}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}. \]Поляризация прокладки \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E_{\text{д}}=(\varepsilon-1)\sigma/\varepsilon\). Связанный заряд на её гранях
\[ \sigma_{\text{пр}}=\pm P=\pm\sigma\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}. \]Разность потенциалов между плоскостями
\[ V=E_{\text{возд}}(d-h)+E_{\text{д}}h =\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\Bigl(d-h+\frac{h}{\varepsilon}\Bigr). \]Если прокладка заполняет весь зазор (\(h=d\)), получаем обычное \(V=\sigma d/(\varepsilon_0\varepsilon)\). Если прокладки нет (\(h=0\)), \(V=\sigma d/\varepsilon_0\).
Свободный заряд на плоскостях фиксирован, поэтому \(D=\sigma\) и в диэлектрике, и в воздухе. Поле же в диэлектрике в \(\varepsilon\) раз меньше. Связанный заряд на гранях прокладки \(P=D(1-1/\varepsilon)\) частично экранирует обкладки. Разность потенциалов — сумма \(E_{\text{возд}}(d-h)+E_{\text{д}}h\).
Предел \(\varepsilon=1\): прокладки нет, \(V=\sigma d/\varepsilon_0\). Предел \(\varepsilon\to\infty\): диэлектрик как металл, внутри поле нуль, \(V=\sigma(d-h)/\varepsilon_0\) — конденсатор с уменьшенным зазором. Оба конца формулы правильные, и это лучшая проверка, чем подстановка чисел.