Пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) помещена в однородное электрическое поле так, что её нормаль составляет угол \(\alpha\) с напряжённостью \(E_0\). Найдите напряжённость поля внутри пластины.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть нормаль к пластинке составляет угол \(\alpha\) с однородным полем \(E_0\) вдали. Тогда
\[ E_{0\parallel}=E_0\sin\alpha,\qquad E_{0\perp}=E_0\cos\alpha. \]Касательная \(E\) непрерывна, поэтому внутри \(E_\parallel=E_0\sin\alpha\). Нормальная \(D\) непрерывна (свободного заряда на гранях нет), а снаружи \(D_{\perp}=\varepsilon_0 E_0\cos\alpha\), внутри \(D_{\perp}=\varepsilon_0\varepsilon E_\perp\). Значит
\[ E_\perp=\frac{E_0\cos\alpha}{\varepsilon}. \]Полное поле внутри пластинки
\[ E=\sqrt{E_\parallel^2+E_\perp^2} =E_0\sqrt{\sin^2\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\varepsilon^2}}. \]Поле уже не параллельно внешнему: оно «преломляется», отклоняясь к плоскости пластинки, потому что нормальная компонента ослаблена в \(\varepsilon\) раз, а касательная — нет.
На границе без свободного заряда непрерывны \(E_\parallel\) и \(D_\perp\). Касательная компонента проходит без изменения, нормальная ослабляется в \(\varepsilon\) раз. Поле внутри «преломляется» к плоскости пластинки. Полный модуль собирается теоремой Пифагора.
Вдоль поля (\(\alpha=90^\circ\)) связанных зарядов на бесконечных гранях нет, \(E=E_0\). Поперёк (\(\alpha=0\)) — обычная пластинка в конденсаторе, \(E=E_0/\varepsilon\). При \(\varepsilon\to\infty\) остаётся только касательная, как в тонком слое проводника. Три предела — три знакомые задачи.