Электрон, движущийся со скоростью \(v_1\), переходит из области поля с потенциалом \(\varphi_1\) в область с потенциалом \(\varphi_2\). Под каким углом к границе раздела областей будет двигаться электрон, если он подлетел к ней под углом \(\alpha\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Электрон имеет заряд \(-e\), поэтому его потенциальная энергия \(U=-e\varphi\). Сохранение энергии при переходе из области 1 в область 2: \[ \frac{m_e v_1^2}{2}-e\varphi_1=\frac{m_e v_2^2}{2}-e\varphi_2, \] \[ v_2^2=v_1^2+\frac{2e}{m_e}(\varphi_2-\varphi_1). \]
Если \(\varphi_2>\varphi_1\), электрон ускоряется (ему «выгоднее» сидеть в большем потенциале). Если \(\varphi_2<\varphi_1\) настолько, что правая часть отрицательна, пройти нельзя: электрон отразится — аналог полного внутреннего отражения.
Сила на границе нормальна к ней, поэтому \[ v_{2\tau}=v_{1\tau}. \] Угол \(\alpha\) в условии — угол с границей (не с нормалью), так что \[ v_{1\tau}=v_1\cos\alpha,\qquad v_{1n}=v_1\sin\alpha. \] На выходе угол \(\beta\) с той же границей: \[ \operatorname{tg}\beta=\frac{v_{2n}}{v_{2\tau}}=\frac{\sqrt{v_2^2-v_1^2\cos^2\alpha}}{v_1\cos\alpha}. \]
Подставляем \(v_2^2\): \[ \operatorname{tg}\beta=\operatorname{tg}\alpha\sqrt{1+\frac{2e(\varphi_2-\varphi_1)}{m_e v_1^2\sin^2\alpha}}. \]
Тот же результат можно записать как закон Снеллиуса \[ \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\frac{v_1}{v_2}: \] «медленная» область сильнее преломляет траекторию к нормали границы, «быстрая» — от нормали.