На рисунке изображена схема выделения из пучка частиц отрицательных ионов водорода. Сетки 1 и 4 заземлены. На трубку с сетками 2, 3 подан отрицательный потенциал. Сетка 2 вытягивает из водородной плазмы, которая находится за сеткой 1, протоны. В трубку напускается газ. Протоны, проходя сквозь газ, частично превращаются в нейтральные атомы водорода \(\mathrm{H}^0\), частично — в ионы \(\mathrm{H}^-\). Определите, под каким углом к оси трубки будут двигаться ионы \(\mathrm{H}^-\) за сеткой 4, если угол между плоскостями сеток 3, 4 и осью трубки равен \(\alpha\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергии. Протон стартует у заземлённой сетки 1 почти с нулевой скоростью и втягивается в трубку с потенциалом \(-V\). Набирает \[ K_p=eV. \] Захват одного или двух электронов в газе почти не меняет импульс (электроны лёгкие), поэтому у родившегося \(\mathrm{H}^-\) кинетическая энергия та же, \(K=eV\). Заряд иона \(-e\), потенциал трубки \(-V\), полная механическая энергия \[ \mathcal{E}=K+q\varphi=eV+(-e)(-V)=2eV. \] За заземлённой сеткой 4 потенциал нуль, значит кинетическая энергия станет \(K'=2eV\). Скорость вырастет в \(\sqrt{2}\) раз.
Преломление на наклонном зазоре 3–4. Поле в зазоре нормально к сеткам. Касательная компонента скорости сохраняется. Пусть \(v\) — скорость иона в трубке, \(mv^2/2=eV\). Нормаль к сеткам составляет угол \(\alpha\) с осью трубки, поэтому \[ v_\tau=v\sin\alpha,\qquad v_n=v\cos\alpha. \] На выходе \(v'_\tau=v\sin\alpha\), \(v'=\sqrt{2}\,v\), и угол \(\beta'\) траектории с нормалью к сеткам \[ \sin\beta'=\frac{v'_\tau}{v'}=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{2}}. \]
Угол траектории с осью трубки есть разность \(\beta=\alpha-\beta'\). Удобнее работать с тангенсом. Нормаль на выходе \[ v'_n=\sqrt{v'^2-v^2\sin^2\alpha}=v\sqrt{2-\sin^2\alpha}=v\sqrt{1+\cos^2\alpha}. \]
Разложим \(\mathbf{v}'\) на ось трубки и поперёк. После короткой геометрии \[ \operatorname{tg}\beta=\frac{v\sin\alpha\cdot\cos\alpha-v'_n\sin\alpha}{v\sin\alpha\cdot\sin\alpha+v'_n\cos\alpha} =\frac{\cos\alpha\sqrt{1+\cos^2\alpha}-\cos^2\alpha}{\cos\alpha\sqrt{1+\cos^2\alpha}+\sin^2\alpha}. \]
Эквивалентная запись через арктангенс угла с нормалью: \[ \beta=\alpha-\operatorname{arctg}\frac{1+\sin^2\alpha}{\cos\alpha}. \]
Нейтралы \(\mathrm{H}^0\) сеток не чувствуют и летят вдоль оси. Протоны, не успевшие перезарядиться, между сетками 3–4 тормозятся до нуля (их полная энергия 0) и назад в трубку не возвращаются — схема и вправду выделяет \(\mathrm{H}^-\).