Пылинка массы \(10^{-12}\) кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна 1 мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения 490 В, и через 10 с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора 0,1 м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Дано: \(m=10^{-12}\) кг, \(v_{\text{пад}}=1\) мм/с \(=10^{-3}\) м/с, \(V=490\) В, \(d=0{,}1\) м, время до пластины \(t=10\) с. Пылинка начинает путь посередине, так что горизонтальный путь \(d/2=0{,}05\) м.
Вертикаль до включения. Сила тяжести уравновешена вязким трением: \[ mg=b v_{\text{пад}}\qquad\Longrightarrow\qquad b=\frac{mg}{v_{\text{пад}}}. \]
Горизонталь после включения. Уравнение \[ m\dot u_x=qE-b u_x. \] Это экспоненциальный выход на предел \(u_x\to qE/b\) с временем релаксации \[ \tau=\frac{m}{b}=\frac{v_{\text{пад}}}{g}=\frac{10^{-3}}{9{,}8}\sim10^{-4}\ \text{с}. \] Десять секунд — это сто тысяч \(\tau\). Переходным процессом можно полностью пренебречь: почти сразу \[ u_x=\frac{qE}{b}=\frac{qE\,v_{\text{пад}}}{mg}=\mathrm{const}. \]
Горизонтальный путь равномерный: \[ u_x=\frac{d/2}{t}=\frac{0{,}05}{10}=5\cdot10^{-3}\ \text{м/с}. \] Поле конденсатора \(E=V/d=490/0{,}1=4900\) В/м. Отсюда заряд \[ q=\frac{u_x\,mg}{E\,v_{\text{пад}}} =\frac{5\cdot10^{-3}\cdot10^{-12}\cdot9{,}8}{4900\cdot10^{-3}} =10^{-17}\ \text{Кл}. \]
Вертикальная скорость после включения чуть подрастёт: полная скорость станет \(\sqrt{v_{\text{пад}}^2+u_x^2}\), и трение повернётся против полной скорости. Но \(u_x=5v_{\text{пад}}\), так что перестройка произойдёт за те же \(10^{-4}\) с, и на горизонтальный снос это почти не повлияет: сила трения по-прежнему \(\approx b\mathbf{u}\), а \(b\) мы уже извлекли из вертикали.