Пучок электронов входит со скоростью \(v\) в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Напряжение на конденсаторе \(V\), длина пластин в направлении движения пучка \(l\). Сколько электронов попадает на пластину конденсатора в единицу времени, если на входе в конденсатор пучок равномерно заполняет всё расстояние между пластинами \(d\) и имеет ширину \(b\) в направлении, параллельном пластинам? Число электронов в единице объёма пучка \(n\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Напряжение на конденсаторе \(V\), зазор \(d\), поле \(E=V/d\). Поперечное ускорение электрона \[ a=\frac{eE}{m_e}=\frac{eV}{m_e d}. \] Вдоль пластин скорость \(v\) не меняется, время пролёта \(t=l/v\). Смещение к притягивающей пластине \[ y=\frac{at^2}{2}=\frac{eV}{m_e d}\cdot\frac{l^2}{2v^2}=\frac{eV l^2}{2m_e d\,v^2}. \]
На входе пучок равномерно заполняет всё расстояние между пластинами. Электроны, стартовавшие на расстоянии меньше \(y\) от «притягивающей» пластины, успевают до неё долететь; остальные выходят из конденсатора, не коснувшись стенок. Доля попавших \[ \frac{y}{d}=\frac{eV l^2}{2m_e d^2 v^2}, \] если \(y<d\); иначе сядет весь пучок, и ответ saturates на \(N=nv\cdot bd\). В формуле задачника подразумевается режим \(y<d\).
Поток электронов на входе — это плотность \(n\), скорость \(v\) и площадь сечения \(b\cdot d\): \[ \Phi=nv\cdot bd. \] Число попаданий в единицу времени \[ N=\Phi\cdot\frac{y}{d}=nv\cdot bd\cdot\frac{eV l^2}{2m_e d^2 v^2} =\frac{neVbl^2}{2m_e vd}. \]
Ширина \(b\) входит линейно: вдоль этой оси поле не сортирует. Плотность \(n\) и заряд \(e\) — тоже линейно: каждый электрон отклоняется независимо (пучок считают несамосогласованным).