Частицы массы \(m\) с зарядом \(q\) влетают в плоский конденсатор длины \(l\) под углом \(\alpha\) к плоскости пластин, а вылетают под углом \(\beta\). Определите первоначальную кинетическую энергию частиц, если напряжённость поля внутри конденсатора \(E\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ось \(x\) направим вдоль пластин, ось \(y\) — по полю (от одной пластины к другой). На входе \[ v_x=v\cos\alpha,\qquad v_y=v\sin\alpha. \] Поле однородно и перпендикулярно пластинам, поэтому \(v_x\) не меняется. Время пролёта конденсатора длины \(l\) \[ t=\frac{l}{v_x}=\frac{l}{v\cos\alpha}. \]
Поперечное ускорение \(a=qE/m\). Знак выберем так, чтобы поле уменьшало уже имеющуюся \(v_y\) и частица «перегибалась» к пластинам: тогда на выходе угол \(\beta\) отсчитывается в другую сторону от плоскости, и в ответе появляется сумма тангенсов. В этом соглашении \[ v_y^{\text{вых}}=v\sin\alpha-at=v\sin\alpha-\frac{qEl}{mv\cos\alpha}. \]
С другой стороны, по определению угла вылета \[ v_y^{\text{вых}}=-v_x\operatorname{tg}\beta=-v\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta \] (минус — угол по другую сторону плоскости). Приравниваем: \[ -v\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta=v\sin\alpha-\frac{qEl}{mv\cos\alpha}. \]
Переносим \(v\sin\alpha\) и умножаем на \(v\cos\alpha\): \[ v^2\cos^2\alpha\,(\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta)=\frac{qEl}{m}. \]
Кинетическая энергия \[ K=\frac{mv^2}{2}=\frac{qEl}{2\cos^2\alpha\,(\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta)}. \]
Если поле, наоборот, увеличивает \(v_y\) и частица выходит под углом \(\beta\) в ту же сторону, в скобке будет разность тангенсов. Задачник держит сумму — значит, имеется в виду «перегиб» траектории, как на типичном рисунке к этой задаче.