Протон и \(\alpha\)-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора от прямолинейной траектории будет больше отклонения \(\alpha\)-частицы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пластины конденсатора создают однородное поле \(\mathbf{E}\), перпендикулярное начальной скорости. Вдоль пластин сила не действует, скорость \(v\) не меняется, время пролёта базы \(l\) \[ t=\frac{l}{v} \] одно и то же для протона и для \(\alpha\)-частицы.
Поперек пластин движение равноускоренное, начальная поперечная скорость нуль: \[ y=\frac{at^2}{2},\qquad a=\frac{qE}{m}. \] Значит отношение отклонений равно отношению удельных зарядов: \[ \frac{y_p}{y_\alpha}=\frac{q_p/m_p}{q_\alpha/m_\alpha}. \]
Протон: \(q_p=e\), \(m_p=m_p\). Альфа-частица — ядро гелия \(^4\mathrm{He}\): \(q_\alpha=2e\), \(m_\alpha=4m_p\) (масса двух протонов и двух нейтронов; дефект масс \(\sim0{,}8\%\), для этой задачи его не видно). Поэтому \[ \frac{q_\alpha}{m_\alpha}=\frac{2e}{4m_p}=\frac12\cdot\frac{e}{m_p}=\frac12\frac{q_p}{m_p}, \] \[ \frac{y_p}{y_\alpha}=2. \]
Протон отклоняется вдвое сильнее. Это и есть принцип масс-спектрометра: при равных скоростях и одном поле траектории расслаиваются по \(q/m\).
Мы сравнили смещение внутри конденсатора. Если после конденсатора стоит длинный дрейф до экрана, угол вылета \(\alpha\approx at/v\) тоже пропорционален \(q/m\), и отношение отклонений на экране остаётся тем же.