Частица массы \(m\) с зарядом \(q>0\) влетает в плоский конденсатор, обкладками которого являются металлические сетки. Напряжённость поля в конденсаторе \(E\), расстояние между сетками \(d\). Начальная скорость \(v\) частицы составляет угол \(\alpha\) с плоскостью первой сетки. С какой скоростью и под каким углом к плоскости второй сетки вылетит частица из конденсатора?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Введём оси: \(x\) — нормаль к сеткам (от первой ко второй), \(y\) — вдоль сеток. На входе \[ v_x=v\sin\alpha,\qquad v_y=v\cos\alpha, \] потому что угол \(\alpha\) отсчитывается от плоскости сетки. Между сетками \(E_y=0\), поэтому \[ u_y=v_y=v\cos\alpha \] сохраняется точно.
Работа поля на пути от сетки до сетки равна \(qEd\): потенциал меняется на \(Ed\), независимо от того, по какой параболе летит частица (поле однородно). Теорема о кинетической энергии: \[ \frac{mu^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+qEd \qquad\Longrightarrow\qquad u=v\sqrt{1+\frac{2qEd}{mv^2}}. \]
Нормаль на выходе находим из теоремы Пифагора: \[ u_x=\sqrt{u^2-u_y^2}=\sqrt{u^2-v^2\cos^2\alpha} =v\sqrt{\sin^2\alpha+\frac{2qEd}{mv^2}}. \]
Угол \(\beta\) вылета к плоскости второй сетки определяется тангенсом: \[ \operatorname{tg}\beta=\frac{u_x}{u_y} =\frac{v\sqrt{\sin^2\alpha+2qEd/(mv^2)}}{v\cos\alpha} =\operatorname{tg}\alpha\sqrt{1+\frac{2qEd}{mv^2\sin^2\alpha}}. \]
Формула предполагает, что частица долетает до второй сетки, не развернувшись. Если поле тормозит (\(E\) против \(v_x\)) и \(q|E|d>mv_x^2/2\), частица отразится от «потенциальной стенки» и вылетит обратно через первую сетку. В условии \(q>0\) и поле, судя по рисунку, разгоняет — мы работаем в этом режиме.