Частица, заряд которой \(q\), а масса \(m\), пролетает область однородного электрического поля протяжённости \(d\) за время \(t\). Скорость \(v\) частицы на входе в поле направлена вдоль поля. Определите напряжённость электрического поля.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Направим ось \(x\) вдоль поля, начало — на входе в слой. Внутри слоя ускорение постоянно: \[ a=\frac{qE}{m} \] (знак \(E\) выберем так, чтобы положительное \(E\) разгоняло частицу, если \(q>0\)). Закон движения \[ x(t)=vt+\frac{at^2}{2}. \] В момент выхода \(x=d\), время пролёта равно \(t\), поэтому \[ d=vt+\frac{qE}{2m}t^2. \]
Разрешаем относительно \(E\): \[ \frac{qE}{2m}t^2=d-vt,\qquad E=\frac{2m(d-vt)}{qt^2}. \]
Смысл знака прозрачен. Если \(d>vt\), частица прошла больше, чем прошла бы по инерции, — поле её разгоняло, \(E\) того же знака, что \(q\). Если \(d<vt\) — поле тормозило, \(E\) противоположного знака. Если частица успела остановиться и вылететь назад, формула формально даёт большое отрицательное \(E\), но тогда «пролёт слоя за время \(t\)» надо понимать иначе: частица слоя не пересекла.
Мы молча предположили, что поле занимает слой толщины \(d\) и нигде больше, а скорость на входе направлена вдоль поля, так что движение одномерное. Поперечной компоненты нет, траектория — отрезок нормали к границам слоя.
Тот же ответ получается из теоремы о кинетической энергии. Скорость на выходе \(u=v+at=v+(qE/m)t\), путь есть среднее арифметическое скоростей, умноженное на время: \(d=(v+u)t/2\). Подставляя \(u\), снова приходим к \(E=2m(d-vt)/(qt^2)\). Если поле занимает не слой, а полупространство, частица может не выйти за время \(t\) — тогда условие «пролетает за время \(t\)» просто не выполняется, и формулу применять нельзя.