Определите, какова должна быть ускоряющая разность потенциалов \(V\), чтобы электроны пошли по пути, указанному на рисунке. Радиусы пластин цилиндрического конденсатора \(R_1\) и \(R_2\). Разность потенциалов между пластинами \(V_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле бесконечного цилиндрического конденсатора находится из теоремы Гаусса. Для гауссовой поверхности — цилиндра радиуса \(r\), \(R_1<r<R_2\), \[ E(r)\cdot 2\pi r\ell=\frac{\lambda\ell}{\varepsilon_0}\qquad\Longrightarrow\qquad E(r)=\frac{A}{r}, \] где \(A=\lambda/(2\pi\varepsilon_0)\). Разность потенциалов между обкладками \[ V_0=\int_{R_1}^{R_2}E\,dr=A\ln\frac{R_2}{R_1}, \] поэтому \(A=V_0/\ln(R_2/R_1)\) и на любой окружности \[ E(r)=\frac{V_0}{r\ln(R_2/R_1)}. \]
Электрон ускорен разностью \(V\), его кинетическая энергия \[ \frac{m_e v^2}{2}=eV. \]
Чтобы траектория была окружностью радиуса \(r\), нужна центростремительная сила \(eE\): \[ \frac{m_e v^2}{r}=eE(r)=\frac{eV_0}{r\ln(R_2/R_1)}. \]
Сокращаем \(r\) и подставляем \(m_e v^2=2eV\): \[ 2eV=\frac{eV_0}{\ln(R_2/R_1)}\qquad\Longrightarrow\qquad V=\frac{V_0}{2\ln(R_2/R_1)}. \]
Средний радиус \((R_1+R_2)/2\) в ответ не вошёл: и \(mv^2/r\), и \(E\propto 1/r\) содержат одно и то же \(r\), оно сокращается. Поэтому годится любая окружность между обкладками — все они «резонансны» при одном и том же \(V\). На практике пучок пускают посередине, чтобы не задеть стенки.