Между двумя закреплёнными зарядами в точке \(A\) отпускают частицу с зарядом \(q\). Расстояние \(AB\) эта частица проходит за время \(t\). За какое время пройдёт это же расстояние частица с зарядом \(3q\), если её отпустить в точке \(A\)? Массы частиц одинаковы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть закреплённые заряды создают поле \(\mathbf{E}(\mathbf{r})\). Уравнение движения первой частицы \[ m\ddot{\mathbf{r}}=q\mathbf{E}(\mathbf{r}),\qquad \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_A,\quad \dot{\mathbf{r}}(0)=0. \]
Для частицы с зарядом \(3q\) и той же массой \[ m\ddot{\mathbf{r}}=3q\mathbf{E}(\mathbf{r}), \] начальные условия те же: отпустили из точки \(A\).
Пусть \(\mathbf{r}_1(t)\) — закон движения первой частицы. Проверим функцию \(\mathbf{r}_3(t)=\mathbf{r}_1(t\sqrt{3})\). Её ускорение \[ \ddot{\mathbf{r}}_3(t)=3\,\ddot{\mathbf{r}}_1(t\sqrt{3})=\frac{3q}{m}\mathbf{E}\bigl(\mathbf{r}_1(t\sqrt{3})\bigr) =\frac{3q}{m}\mathbf{E}\bigl(\mathbf{r}_3(t)\bigr), \] и начальные условия выполнены: \(\mathbf{r}_3(0)=\mathbf{r}_A\), \(\dot{\mathbf{r}}_3(0)=\sqrt{3}\,\dot{\mathbf{r}}_1(0)=0\). Значит, это и есть движение второй частицы.
Первая достигает \(B\) в момент \(t\), то есть \(\mathbf{r}_1(t)=\mathbf{r}_B\). Тогда \(\mathbf{r}_3(t')=\mathbf{r}_B\) в момент, когда \(t'\sqrt{3}=t\): \[ t'=\frac{t}{\sqrt{3}}. \]
Заряд больше — сила больше — частица летит быстрее — время меньше. В 3-м издании задачника напечатано \(t'=t\sqrt{3}\). Это опечатка: либо перепутали направление масштаба, либо имели в виду заряд \(q/3\). Мы держим вывод.
Тот же ответ даёт размерный анализ, не требующий подобия траекторий. Единственный масштаб времени из \(m\), \(qE\) и длины \(s=AB\): \[ t\sim\sqrt{\frac{ms}{qE}}\propto\frac{1}{\sqrt{q}}. \] Отношение времён \(1/\sqrt{3}\), даже если поле неоднородно.