Начальная скорость ионов в эмиттере (1) равна нулю, а электрическое поле между эмиттером и коллектором (2) постоянно во времени. Покажите, что траектория ионов не зависит от их массы. Как относятся времена пролёта разных ионов по одинаковой траектории, если заряд ионов одинаков, а отношение их масс равно \(n\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ионы рождаются на эмиттере с нулевой скоростью. Поле между эмиттером и коллектором не зависит от времени: \(\mathbf{E}=\mathbf{E}(\mathbf{r})\). Уравнение движения иона заряда \(q\) и массы \(m\) \[ m\ddot{\mathbf{r}}=q\mathbf{E}(\mathbf{r}),\qquad \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_1,\quad \dot{\mathbf{r}}(0)=0. \]
Для иона массы \(m'=nm\) (заряд тот же) \[ nm\,\ddot{\mathbf{r}}=q\mathbf{E}(\mathbf{r}). \]
Пусть \(\mathbf{r}_m(t)\) — закон движения первого иона. Функция \(\mathbf{r}_{nm}(t)=\mathbf{r}_m(t/\sqrt{n})\) удовлетворяет второму уравнению: \[ \ddot{\mathbf{r}}_{nm}(t)=\frac{1}{n}\ddot{\mathbf{r}}_m(t/\sqrt{n}) =\frac{1}{n}\cdot\frac{q}{m}\mathbf{E}\bigl(\mathbf{r}_m(t/\sqrt{n})\bigr) =\frac{q}{nm}\mathbf{E}\bigl(\mathbf{r}_{nm}(t)\bigr), \] и начальные условия те же. Следовательно, геометрическое место точек \(\{\mathbf{r}\}\) — одна и та же кривая. Траектории совпадают.
Время пролёта по этой кривой у тяжёлого иона больше в \(\sqrt{n}\) раз: \[ \frac{t_{nm}}{t_m}=\sqrt{n}. \]
Физически это очевидно: в каждой точке ускорение меньше в \(n\) раз, скорости набираются как \(\sqrt{a}\propto 1/\sqrt{n}\), путь тот же — время \(\propto\sqrt{n}\). Если бы ионы стартовали с ненулевой скоростью, заданной «в метрах в секунду», подобие сломалось бы: начальная скорость не масштабируется вместе с ускорением. Именно поэтому в условии подчёркнуто \(v_0=0\).
От независимости траектории от массы живёт электростатическая фокусировка в ЭЛТ и масс-спектрометрах с статическим полем: ионы разной массы идут по одним и тем же кривым и расходятся только по времени прихода.