Две сферы радиуса \(R\) имеют одинаковый заряд \(Q\), распределённый равномерно по поверхности. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону на поверхности одной из сфер, чтобы он достиг второй сферы? Расстояние между центрами сфер \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вне каждой сферы поле такое же, как у точечного заряда \(Q\) в центре. На поверхности первой сферы (в ближайшей ко второй точке) потенциал складывается из собственного \(Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\) и потенциала соседки \(Q/(4\pi\varepsilon_0(l-R))\): \[ \varphi_1=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}+\frac{1}{l-R}\Bigr). \]
Посередине между центрами, на расстоянии \(l/2\) от каждого, \[ \varphi_m=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2}{l/2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{4}{l}. \]
Для электрона \(U=-e\varphi\). Чтобы дойти до середины и остановиться, \[ K_{\min}+U(\varphi_1)=U(\varphi_m), \] \[ K_{\min}=e(\varphi_1-\varphi_m) =\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}+\frac{1}{l-R}-\frac{4}{l}\Bigr). \]
Скобка неотрицательна при \(l\ge 2R\). В этом легко убедиться: функция \(f(l)=1/R+1/(l-R)-4/l\) при \(l=2R\) даёт \(1/R+1/R-2/R=0\), а производная \(f'(l)=-1/(l-R)^2+4/l^2\) в окрестности \(2R\) положительна. Физика простая: при \(l\to 2R\) сферы почти касаются, «перевал» сливается с точкой старта, и электрон может переползти без затрат, \(K\to 0\).
Мы считали сферы непроводящими (заряд закреплён равномерно). Если бы они были металлическими, заряд перетёк бы к дальним полюсам, потенциал на линии центров изменился бы, и ответ был бы другим. Условие это оговаривает: заряд распределён равномерно.