В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной сфере массы \(M\) и радиуса \(R\) имеются два небольших диаметрально противоположных отверстия. Заряд сферы \(Q\). В начальный момент сфера покоится. По прямой, соединяющей отверстия, из бесконечности движется со скоростью \(v\) частица массы \(m\) с зарядом \(q\), одноимённым с \(Q\). Найдите время, в течение которого частица будет находиться внутри сферы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сфера не закреплена и вначале покоится. Система изолирована, импульс сохраняется: \[ mv=(m+M)V_{\text{см}},\qquad V_{\text{см}}=\frac{mv}{m+M}. \]
Снаружи потенциал сферы \(Q/(4\pi\varepsilon_0 r)\), внутри — константа \(Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\) (поле равно нулю). На бесконечности энергия \(mv^2/2\). Когда частица только что вошла в отверстие, расстояние до центра равно \(R\), потенциальная энергия \(qQ/(4\pi\varepsilon_0 R)\), и \[ \frac{mu^2}{2}+\frac{MU^2}{2}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R}=\frac{mv^2}{2}, \] где \(u\) и \(U\) — лабораторные скорости частицы и сферы, связанные импульсом \(mu+MU=mv\).
Введём относительную скорость \(v_{\text{отн}}=u-U\) и приведённую массу \(\mu=mM/(m+M)\). Кинетическая энергия в системе центра масс есть \(\mu v_{\text{отн}}^2/2\), а энергия центра масс \(mv^2/2-\mu v^2/2\) на бесконечности. Закон сохранения принимает вид \[ \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}=\frac{\mu v^2}{2}-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R}, \] \[ v_{\text{отн}}=v\sqrt{1-\frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 R\,\mu v^2}} =v\sqrt{1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 R\,mM v^2}}. \]
Коэффициент \(2\pi\), а не \(4\pi\): в знаменателе стоит \(2\cdot(4\pi\varepsilon_0)/2=4\pi\varepsilon_0\) после раскрытия \(\mu v^2/2\), и \(2k/\mu=2\cdot 1/(4\pi\varepsilon_0)\cdot(m+M)/(mM)=(m+M)/(2\pi\varepsilon_0 mM)\).
Внутри сферы сила взаимодействия не зависит от положения частицы (поле нуль), поэтому \(v_{\text{отн}}\) не меняется. Частица проходит хорду — диаметр \(2R\) — относительно сферы. Время \[ t=\frac{2R}{v_{\text{отн}}} =\frac{2R}{v}\Biggl(1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 R\,mM v^2}\Biggr)^{-1/2}. \]
Если подкоренное выражение неположительно, частица не долетает до поверхности: отталкивание останавливает относительное движение снаружи.