В однородном электрическом поле напряжённости \(E\) гантель совершает колебания так, что в момент, когда она расположена поперёк поля, скорости шариков гантели равны нулю. Определите скорость шариков в момент, когда гантель расположена вдоль поля. Масса шариков \(m\), заряд \(\pm q\), расстояние между центрами \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Дипольный момент гантели \(p=ql\), потенциальная энергия в однородном поле \[ U=-pE\cos\theta=-qlE\cos\theta, \] где \(\theta\) — угол между гантелью и полем.
В положении «поперёк» \(\theta=\pi/2\), \(U=0\), и по условию скорости шариков равны нулю. Полная энергия системы в этот момент — нуль (начало отсчёта \(U\) выбрано так).
В положении «вдоль поля» \(\theta=0\), \(U=-qlE\). Центр масс гантели не ускоряется: силы \(+qE\) и \(-qE\) компенсируются. Стержень нерастяжим, поэтому шарики движутся по окружностям радиуса \(l/2\) вокруг центра масс, и их скорости равны по модулю. Закон сохранения энергии: \[ 2\cdot\frac{mv^2}{2}+U_{\parallel}=U_{\perp}, \] \[ mv^2-qlE=0\qquad\Longrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{qEl}{m}}. \]
Это скорость каждого шарика в лабораторной системе (центр масс покоится или движется равномерно — на относительные скорости это не влияет).
Тот же ответ получается из теоремы об изменении кинетической энергии: каждый заряд проходит по дуге \(\pi l/4\), но сила \(q\mathbf{E}\) не всегда направлена по скорости, поэтому интегрировать \(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}\) менее удобно, чем пользоваться \(U=-pE\cos\theta\).