Найдите период малых колебаний гантели длины \(l\) с шариками массы \(m\), расположенной вдоль однородного электрического поля напряжённостью \(E\). Заряд шариков гантели \(\pm q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Суммарный заряд нуль, центр масс в однородном поле не ускоряется. Достаточно следить за углом \(\theta\) между стержнем и полем.
Момент инерции двух шариков массы \(m\) на расстоянии \(l/2\) от центра: \[ I=2m\Bigl(\frac{l}{2}\Bigr)^2=\frac{ml^2}{2}. \]
Момент сил: на заряды действуют силы \(\pm qE\), плечо каждой — \((l/2)\sin\theta\), обе крутят в одну сторону (к положению вдоль поля): \[ M=-qlE\sin\theta. \]
Для малых углов \(\sin\theta\approx\theta\), и уравнение вращения \[ I\ddot\theta=M\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{ml^2}{2}\ddot\theta=-qlE\,\theta, \] \[ \ddot\theta+\frac{2qE}{ml}\,\theta=0. \]
Циклическая частота \(\omega=\sqrt{2qE/(ml)}\), период \[ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2qE}}. \]
Положение «против поля» (\(\theta=\pi\)) тоже стационарно, но неустойчиво: момент уводит гантель прочь. Малые колебания возможны только около \(\theta=0\).
Тот же период читается из энергии. \(U=-qlE\cos\theta\approx\mathrm{const}+(qlE/2)\theta^2\), кинетическая \(\tfrac12 I\dot\theta^2=\tfrac14 ml^2\dot\theta^2\). Частота \(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{2qE/(ml)}\) — как выше. Гантель не должна быть проводящей: иначе заряды перетекли бы и \(p\) зависел бы от \(\theta\). В условии заряды закреплены на шариках.