Найдите период малых колебаний маятника, состоящего из шарика массы \(m\), имеющего заряд \(q\) и подвешенного на нити длины \(l\), если маятник поместить в электрическое поле напряжённости \(E\), направленное вдоль поля тяжести и под углом \(\pi/2\) к направлению поля тяжести.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле вдоль тяжести. Если \(\mathbf{E}\) сонаправлено с \(\mathbf{g}\) (или против — тогда знак у \(qE\)), эффективное ускорение свободного падения \[ g_{\text{эф}}=g+\frac{qE}{m}. \]
Колебания около нижней точки возможны, только если равнодействующая направлена вниз, \(mg+qE>0\). Иначе нить не натягивается в «нижнем» положении, и шарик уходит вверх по полю. При \(mg+qE>0\) \[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{\text{эф}}}}=2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg+qE}}. \]
Вывод тот же, что у обычного маятника: момент силы \(-(mg+qE)l\sin\theta\), момент инерции \(ml^2\), для малых \(\theta\) получаем \(\ddot\theta+(g_{\text{эф}}/l)\theta=0\).
Поле горизонтально (угол \(\pi/2\) к \(\mathbf{g}\)). Равновесие смещается: нить отклоняется от вертикали на угол \(\alpha\), \[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{qE}{mg}. \]
Модуль эффективной тяжести \[ mg_{\text{эф}}=\sqrt{(mg)^2+(qE)^2},\qquad g_{\text{эф}}=\sqrt{g^2+\Bigl(\frac{qE}{m}\Bigr)^2}. \]
Малые колебания — около этой новой «вертикали», период \[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{\text{эф}}}} =2\pi\sqrt{\frac{ml}{\sqrt{(mg)^2+(qE)^2}}}. \]
Нить по-прежнему должна быть натянута; это так, пока есть хоть какая-то равнодействующая, то есть пока не обнулены сразу и \(g\), и \(E\).