Тело массы \(m\), заряд которого \(q\), находится между двумя закреплёнными зарядами \(Q\), \(Qq>0\). Расстояние от тела до каждого из этих зарядов \(l\). Определите частоту малых колебаний тела вдоль линии, соединяющей заряды \(Q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть закреплённые заряды сидят в точках \(-l\) и \(+l\), тело — в начале координат. Сместим его на \(x\) вдоль линии (\(|x|\ll l\)). Расстояния до зарядов станут \(l-x\) и \(l+x\). Равнодействующая (положительная — вправо) \[ F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Qq\Biggl(\frac{1}{(l-x)^2}-\frac{1}{(l+x)^2}\Biggr). \]
Это сила от ближайшего заряда минус сила от дальнего: при \(x>0\) ближайший — правый, он толкает влево, так что на самом деле равнодействующая направлена к центру. Раскроем: \[ \frac{1}{(l-x)^2}-\frac{1}{(l+x)^2} =\frac{(l+x)^2-(l-x)^2}{(l^2-x^2)^2} =\frac{4lx}{(l^2-x^2)^2}. \]
При \(|x|\ll l\) знаменатель \(\approx l^4\), и \[ F=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{4lx}{l^4}=\frac{Qq}{\pi\varepsilon_0 l^3}\,x. \]
Сила при \(x>0\) толкает влево, поэтому в уравнении Ньютона \[ m\ddot x=-F=-\frac{Qq}{\pi\varepsilon_0 l^3}\,x, \] \[ \omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_0 m l^3}}. \]
Условие \(Qq>0\) как раз и нужно, чтобы сила была возвращающей. Если заряды разноимённые, середина — неустойчивый перевал, колебаний нет.
В задачнике напечатано \(\omega=\sqrt{qQ/(2\pi\varepsilon_0 m l^2)}\) — не сходится ни по степени \(l\) (частота кулоновских колебаний всегда несёт \(l^{-3/2}\)), ни по коэффициенту. Правильный ответ даёт разложение \(1/(l\pm x)^2\).