Найдите частоту малых колебаний математического маятника относительно его нижнего положения равновесия, если непосредственно под равновесным положением шарика на расстоянии \(h\) от него закреплён заряд \(Q\). Длина нити \(l\), масса шарика \(m\), заряд \(q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть нить закреплена в начале координат, нижнее положение шарика — \((0,-l)\), заряд \(Q\) сидит ещё на \(h\) ниже, в точке \((0,-l-h)\). При отклонении на угол \(\theta\) шарик в \((l\sin\theta,\,-l\cos\theta)\), и расстояние до \(Q\) \[ r=\sqrt{(l\sin\theta)^2+(h+l-l\cos\theta)^2}. \]
При малых \(\theta\): \(\sin\theta\approx\theta\), \(1-\cos\theta\approx\theta^2/2\), \[ r^2\approx l^2\theta^2+\Bigl(h+\frac{l\theta^2}{2}\Bigr)^2 \approx h^2+l^2\theta^2+hl\theta^2, \] \[ r\approx h+\frac{l(l+h)}{2h}\theta^2. \]
Потенциальная энергия (начало отсчёта — нижняя точка без кулона) \[ U=mgl(1-\cos\theta)+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 r} \approx\frac{mgl\theta^2}{2} +\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl(\frac{1}{h}-\frac{l(l+h)}{2h^3}\theta^2\Biggr). \]
Член, не зависящий от \(\theta\), на колебания не влияет. Коэффициент при \(\theta^2/2\): \[ \kappa=mgl-\frac{qQ\,l(l+h)}{4\pi\varepsilon_0 h^3}. \]
Кинетическая энергия \(\tfrac12 ml^2\dot\theta^2\). Уравнение осциллятора \(\tfrac12 I\dot\theta^2+\tfrac12\kappa\theta^2\), \(I=ml^2\): \[ \omega=\sqrt{\frac{\kappa}{ml^2}} =\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{qQ(h+l)}{4\pi\varepsilon_0 m h^3 l}}. \]
Подкоренное должно быть положительным, иначе нижняя точка — не минимум: одноимённые заряды слишком сильно выталкивают шарик вверх, и он уходит в сторону. Условие устойчивости \[ \frac{qQ(h+l)}{4\pi\varepsilon_0 h^3}<mg. \]
Если \(qQ<0\) (притяжение), кулоновский член увеличивает частоту: заряд снизу дополнительно натягивает «пружину».