Найдите период малых колебаний тела массы \(m\), заряд которого \(q\), внутри гладкой сферы радиуса \(R\), если в верхней точке сферы закреплён заряд \(Q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Центр сферы — начало координат, дно в \((0,-R)\), заряд \(Q\) закреплён в верхней точке \((0,R)\). Тело внутри сферы параметризуем углом \(\varphi\) от нижней точки: \(\mathbf{r}=(R\sin\varphi,\,-R\cos\varphi)\). Расстояние до \(Q\) \[ r_{Q}=\sqrt{(R\sin\varphi)^2+(R+R\cos\varphi)^2} =R\sqrt{2+2\cos\varphi}=2R\cos\frac{\varphi}{2} \] (при \(\varphi\in(0,\pi)\) косинус положительный).
Потенциальная энергия \[ U=mgR(1-\cos\varphi)+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0\cdot 2R\cos(\varphi/2)}. \]
Малые колебания: \(\varphi\ll 1\), \(1-\cos\varphi\approx\varphi^2/2\), \(\cos(\varphi/2)\approx 1-\varphi^2/8\), поэтому \[ \frac{1}{\cos(\varphi/2)}\approx 1+\frac{\varphi^2}{8}, \] \[ U\approx\frac{mgR\varphi^2}{2}+\frac{qQ}{8\pi\varepsilon_0 R}\Bigl(1+\frac{\varphi^2}{8}\Bigr). \]
Кинетическая энергия \(\tfrac12 m(R\dot\varphi)^2\). Эффективная «пружина» по координате дуги \(s=R\varphi\): \[ U\approx\mathrm{const}+\frac12\Biggl(\frac{mg}{R}+\frac{qQ}{32\pi\varepsilon_0 R^3}\Biggr)s^2, \] \[ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{эф}}}} =2\pi\Biggl(\frac{g}{R}+\frac{qQ}{32\pi\varepsilon_0 m R^3}\Biggr)^{-1/2}. \]
Дно устойчиво, если \(k_{\text{эф}}>0\): \[ \frac{qQ}{32\pi\varepsilon_0 R^2}>-mg. \]
Одноимённые заряды (\(qQ>0\)) прижимают бусинку ко дну ещё сильнее — период уменьшается. Разноимённые — конкурируют с тяжестью; если притяжение к вершине слишком велико, дно становится максимумом, и бусинка уезжает вверх.