Электроны, обладающие на бесконечности скоростью \(v\), падают на металлический изолированный шар радиуса \(R\). На сколько повысится температура шара, если его теплоёмкость равна \(C\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ёмкость уединённого шара \(C_{\text{эл}}=4\pi\varepsilon_0 R\). Когда на нём заряд \(Q\), потенциал \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\). Электрон, имевший на бесконечности энергию \(K=m_e v^2/2\), долетает до поверхности с энергией \(K-e\varphi\) и отдаёт её шару в виде тепла (а сам остаётся, увеличивая \(Q\) на \(e\)).
Последний электрон, который ещё может сесть: \[ e\varphi_{\max}=\frac{m_e v^2}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad Q_{\max}=4\pi\varepsilon_0 R\cdot\frac{m_e v^2}{2e} =\frac{2\pi\varepsilon_0 R m_e v^2}{e}. \]
Порция заряда \(dQ\) приносит тепло \[ dW=\Bigl(\frac{m_e v^2}{2}-\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_0 R}\Bigr)\frac{dQ}{e}. \]
Интегрируем от нуля до \(Q_{\max}\): \[ W=\int_0^{Q_{\max}}\Biggl(\frac{m_e v^2}{2e}-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}\Biggr)dQ =\frac{m_e v^2}{2e}\,Q_{\max}-\frac{Q_{\max}^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \]
Подставляем \(Q_{\max}=2\pi\varepsilon_0 R m_e v^2/e\): \[ \frac{m_e v^2}{2e}\cdot\frac{2\pi\varepsilon_0 R m_e v^2}{e} =\frac{\pi\varepsilon_0 R(m_e v^2)^2}{e^2}, \] \[ \frac{Q_{\max}^2}{8\pi\varepsilon_0 R} =\frac{4\pi^2\varepsilon_0^2 R^2(m_e v^2)^2}{e^2\cdot 8\pi\varepsilon_0 R} =\frac{\pi\varepsilon_0 R(m_e v^2)^2}{2e^2}. \]
Разность \[ W=\frac{\pi\varepsilon_0 R(m_e v^2)^2}{2e^2}. \]
Нагрев шара теплоёмкости \(C\): \[ \Delta T=\frac{W}{C}=\frac{\pi\varepsilon_0 R(m_e v^2)^2}{2e^2 C}. \]
Мы пренебрегли теплом, которое уносят вторичные электроны и излучение, и считали, что все долетевшие электроны остаются на шаре. Для оценки из задачника этого достаточно.