Одна из пластин плоского конденсатора испускает электроны с энергией \(K\) под углом \(\alpha\) к плоскости пластины (угловой разброс электронов \(\Delta\alpha\) мал). Электроны разворачиваются электрическим полем конденсатора и снова попадают на пластину. Каким должен быть угол \(\alpha\), чтобы участок, на который попадают электроны, был минимальным? Оцените размер этого участка.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле конденсатора однородно и направлено к испускающей пластине (электроны должны вернуться). Ускорение \(a=eE/m_e\). Электрон стартует со скоростью \(v=\sqrt{2K/m_e}\) под углом \(\alpha\) к пластине: \[ v_x=v\cos\alpha,\qquad v_y=v\sin\alpha. \]
Время до возврата на пластину \(t=2v_y/a\). Дальность вдоль пластины \[ L(\alpha)=v_x t=\frac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}{a}=\frac{v^2}{a}\sin 2\alpha. \]
Максимум при \(2\alpha=\pi/2\), то есть \(\alpha=\pi/4\), и \(L_{\max}=v^2/a\). Это и есть условие наименьшего пятна: в окрестности максимума \[ \frac{dL}{d\alpha}=0, \] и разброс углов \(\pm\Delta\alpha/2\) (или \(\Delta\alpha\) в обе стороны — в зависимости от того, как определён «угловой разброс») даёт разброс дальностей только второго порядка.
Вторая производная: \(L''(\alpha)=(v^2/a)\cdot(-4\sin 2\alpha)\), в максимуме \(|L''|=4v^2/a\). Полный размах пятна от \(\alpha-\Delta\alpha\) до \(\alpha+\Delta\alpha\) \[ \delta=L(\pi/4)-L(\pi/4-\Delta\alpha) =\frac{v^2}{a}\bigl(1-\sin(\pi/2-2\Delta\alpha)\bigr) =\frac{v^2}{a}(1-\cos 2\Delta\alpha) \approx\frac{v^2}{a}\cdot 2(\Delta\alpha)^2. \]
Подставляем \(v^2=2K/m_e\), \(a=eE/m_e\): \[ \frac{v^2}{a}=\frac{2K}{eE},\qquad \delta\approx\frac{4K(\Delta\alpha)^2}{eE}. \]
Численный коэффициент 4 — это полный размах пятна при разбросе \(\pm\Delta\alpha\). Порядок величины \(\delta\sim K(\Delta\alpha)^2/(eE)\) от выбора «размах или полуширина» не зависит, и задачник просит именно оценку.