Электрон, ускоренный разностью потенциалов \(V_0\), пролетает между пластинами плоского конденсатора и затем попадает на экран. Расстояние между пластинами \(d\) много меньше длины пластин \(l\), а расстояние между конденсатором и экраном \(L\) много больше \(l\). При разности потенциалов на пластинах конденсатора \(V\ll V_0\) отклонение электрона \(x\) на экране пропорционально произведению \(LV\) и обратно пропорционально \(V_0\): \(x\approx k(V/V_0)L\). Определите коэффициент \(k\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
После ускоряющей разности \(V_0\) скорость электрона \[ v=\sqrt{\frac{2eV_0}{m_e}}. \]
Между пластинами поле \(E=V/d\), поперечное ускорение \(a=eV/(m_e d)\). Время пролёта конденсатора \(t=l/v\) (продольная скорость почти не меняется: \(V\ll V_0\)). Набранная поперечная скорость \[ v_\perp=at=\frac{eV l}{m_e d\,v}, \] угол вылета \[ \alpha\approx\frac{v_\perp}{v}=\frac{eV l}{m_e d\,v^2}=\frac{V l}{2V_0 d}. \]
Внутри конденсатора электрон ещё смещается на \(y_0=at^2/2=\alpha l/2\). После конденсатора до экрана расстояние \(L\gg l\), поэтому добавка \(\alpha L\) много больше \(y_0\), и \[ x\approx\alpha L=\frac{l}{2d}\cdot\frac{V}{V_0}\,L. \]
Сравнивая с формулой условия \(x\approx k(V/V_0)L\), находим \[ k=\frac{l}{2d}. \]
Множитель \(1/2\) — это \(e/(m_e v^2)=1/(2V_0)\). Геометрия конденсатора входит отношением длины к зазору: чем длиннее пластины и чем ближе они, тем сильнее «линза».
Отклонение внутри конденсатора \(y_0=at^2/2=\alpha l/2\) мы отбросили. Относительная ошибка \(y_0/(\alpha L)=l/(2L)\ll 1\) как раз по условию \(L\gg l\). Если экран придвинуть вплотную к конденсатору, коэффициент \(k\) сменится на \(l^2/(4dL)\) и перестанет быть «чисто геометрическим» в том смысле, что база \(L\) выпадет иначе. Чувствительность трубки \(x/V=kL/V_0\) растёт с длиной дрейфа и падает с ускоряющим напряжением: жёсткий пучок труднее гнуть.