а. Электрон влетает в осесимметричное электрическое поле, созданное неподвижными зарядами, и движется первоначально параллельно оси поля на расстоянии \(r\) от неё. Скорость электрона \(v\). Если скорость электрона и расстояние от него до оси меняются при движении в поле незначительно, то импульс, приобретённый электроном, можно оценить по формуле \(p_\perp=eq/(2\pi\varepsilon_0 vr)\), где \(q\) — суммарный электрический заряд внутри цилиндрической области радиуса \(r\). Выведите, используя теорему Гаусса, эту формулу.
б. Определите поперечный импульс, приобретённый зарядом \(q_1\), который пролетел мимо заряда \(q_2\). Минимальное расстояние между зарядами \(r\), скорость заряда \(q_1\) вначале была равна \(v\) и менялась незначительно.
в. Оцените минимальное расстояние от ядра атома азота, на котором пролетал ускоренный разностью потенциалов 100 кВ электрон, если он отклонился ядром на угол \(10^{-3}\) рад.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Окружим ось симметрии цилиндром радиуса \(r\), совпадающим с траекторией электрона (траектория почти прямая, параллельная оси). Поток \(\mathbf{E}\) через боковую поверхность \[ \oint E_r\,dS=2\pi r\int_{-\infty}^{+\infty}E_r\,dz=\frac{q}{\varepsilon_0}, \] где \(q\) — весь заряд внутри цилиндра. Вклады торцов исчезают: далеко от сгустка \(E_z\to 0\). Поперечный импульс \[ p_\perp=\int e E_r\,dt=\frac{e}{v}\int E_r\,dz =\frac{e}{v}\cdot\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 r} =\frac{eq}{2\pi\varepsilon_0 vr}. \]
Приближение «\(v\) и \(r\) почти постоянны» как раз и позволяет вынести их из интеграла. Это boris'овское, или «импульсное», приближение рассеяния на малые углы.
б. Поле неподвижного заряда \(q_2\) осесимметрично относительно любой прямой, проходящей через \(q_2\). Возьмём прямую, параллельную начальной скорости \(q_1\) и отстоящую на \(r\) (прицельный параметр \(\approx r\), раз скорость меняется слабо). Внутри цилиндра радиуса \(r\) сидит заряд \(q_2\), поэтому \[ p_\perp=\frac{q_1 q_2}{2\pi\varepsilon_0 vr}. \]
в. Ядро азота: \(Z=7\), \(q_2=7e\). Угол мал, \(\theta\approx p_\perp/p_\parallel\), где \(p_\parallel=m_e v\) и \(m_e v^2=2eV_0\) (ускорен разностью 100 кВ): \[ \theta=\frac{7e^2}{2\pi\varepsilon_0 r\cdot m_e v^2} =\frac{7e^2}{2\pi\varepsilon_0 r\cdot 2e V_0} =\frac{7e}{4\pi\varepsilon_0 r V_0}. \] Отсюда \[ r=\frac{7e}{4\pi\varepsilon_0\theta V_0} =\frac{7\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}{4\pi\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot10^{-3}\cdot10^5} =1{,}0\cdot10^{-10}\ \text{м}. \]
Это много больше радиуса ядра азота (\(\sim 3\) фм), но уже порядка размеров атома (боровский радиус \(0{,}5\) Å): на таком прицельном расстоянии кулон ядра частично экранирован электронами, так что ответ — оценка. Приближение почти прямой траектории заведомо оправдано: \(\theta=10^{-3}\ll 1\).