Через щель, на которую подана разность потенциалов \(V\), пролетают электроны. Ёмкость единицы длины щели \(C\). При малых значениях \(V\) угол отклонения электронов полем щели пропорционален произведению \(C\) на \(V\) и обратно пропорционален \(V_0\) (\(eV_0\) — начальная энергия электронов): \(\alpha\approx k\,CV/V_0\). Определите коэффициент \(k\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На единицу длины щели обкладки несут заряды \(\pm\lambda=\pm CV\). Электрон пролетает сквозь щель со скоростью \(v=\sqrt{2eV_0/m_e}\), почти не меняя её (напряжение на щели мало). Поперечный импульс \[ p_\perp=e\int E_\perp\,dt=\frac{e}{v}\int E_\perp\,ds. \]
Возьмём гауссов контур, охватывающий одну обкладку на длине 1: поток \(E\) равен \(\lambda/\varepsilon_0\). Электрон, проходя через щель, «собирает» полный перепад поперечного поля обеих обкладок — как раз этот поток: \[ \int E_\perp\,ds=\frac{\lambda}{\varepsilon_0}=\frac{CV}{\varepsilon_0}. \]
(Поле слева от щели и справа складываются на развороте силовых линий: входящий поток с одной стороны и выходящий с другой дают полный \(\lambda/\varepsilon_0\).)
Тогда \[ p_\perp=\frac{e}{v}\cdot\frac{CV}{\varepsilon_0},\qquad \alpha=\frac{p_\perp}{p}=\frac{e\cdot CV}{\varepsilon_0\, m_e v^2}. \]
Но \(m_e v^2=2eV_0\), поэтому \[ \alpha=\frac{CV}{\varepsilon_0\cdot 2V_0}=\frac{1}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{CV}{V_0}. \]
Сравнивая с \(\alpha\approx k\,CV/V_0\), находим \[ k=\frac{1}{2\varepsilon_0}. \]
Это та же «линза» щели, что появляется в электронной оптике: преломляющая сила пропорциональна заряду обкладок на единицу длины и обратно пропорциональна энергии пучка.