Параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов \(V_0\), фокусируется на детали в случае, когда на электронную линзу подан потенциал \(V\). Как нужно изменить потенциал линзы в случае, если энергия электронов в пучке увеличилась в два раза?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила на электрон в каждой точке пропорциональна местному полю, а поле — это перепад потенциала на характерном размере. Кинетическая энергия вдали от линзы задана ускоряющей разностью \(V_0\): \(mv^2/2=eV_0\), то есть характерная скорость \(v\sim\sqrt{2eV_0/m}\). Пусть характерный поперечный размер линзы \(R\), характерный потенциал на электродах линзы \(V\). Тогда поперечное ускорение \(\sim eV/(mR)\), время пролёта \(\tau\sim R/v\), и поперечная добавка к скорости
\[ \Delta v_\perp\sim\frac{eV}{mR}\cdot\tau\sim\frac{eV}{m v}. \]Угол отклонения
\[ \alpha\sim\frac{\Delta v_\perp}{v}\sim\frac{eV}{mv^2}\sim\frac{V}{V_0}. \]Геометрия пучка (куда смотрят лучи, где они пересекут ось) определяется только этим углом. Значит, фокусное расстояние тонкой линзы
\[ f\sim\frac{R}{\alpha}\propto\frac{V_0}{V}. \]Это же видно из масштабирования всей картины. Умножим все потенциалы — и ускоряющий \(V_0\), и линзовый \(V\) — на одно число \(k\). Поле, а с ним и сила в каждой точке, умножится на \(k\); скорость электрона в каждом месте — на \(\sqrt k\) (энергия \(\propto k\)); время пролёта любого участка — на \(1/\sqrt k\). Поперечная скорость, набираемая на участке, \(\Delta v_\perp\sim a\tau\), вырастет в \(k/\sqrt k=\sqrt k\) раз — во столько же, во сколько и продольная. Все углы \(\Delta v_\perp/v\) останутся прежними: электроны пройдут по тем же траекториям. Значит, картина лучей зависит лишь от отношения \(V/V_0\): если \(V_0\) удвоили, надо удвоить и \(V\).
Физически: быстрый электрон меньше времени проводит в линзе и его труднее свернуть. Чтобы компенсировать, поле линзы тоже надо сделать вдвое сильнее.